教考衔接8 轨迹方程问题(椭圆)(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

教考衔接8 轨迹方程问题(椭圆) 教材类题·慧聚 题号 类题说明 题源(1) 源自人教A版选择性必修一第108页例2,此题可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆 题源(2) 源自人教A版选择性必修一第108页例3,此题给出椭圆的另一种定义方式 题源(3) 源自人教A版选择性必修一第113页例6,此题给出椭圆的另一种定义方式 题源(1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为___________.  题源(2)如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-,则点M的轨迹方程为______________.  题源(3)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是常数,则动点M的轨迹方程为______________.  【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则点D的坐标为(x0,0).由点M是线段PD的中点,得x=x0,y=. 因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以+=4,① 把x0=x,y0=2y代入方程①,得 x2+4y2=4,即+y2=1. 答案:+y2=1 (2)设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),所以直线AM的斜率为kAM=(x≠-5). 同理,直线BM的斜率为kBM=(x≠5), 由已知,有·=-(x≠±5), 化简,得点M的轨迹方程为+=1(x≠±5). 答案:+=1(x≠±5) (3)设d是点M到直线l:x=的距离,根据题意,动点M的轨迹就是集合P=. 由此得=. 将上式两边平方,并化简,得9x2+25y2=225, 即+=1. 答案:+=1 【拓展】(1)在圆x2+y2=a2(a>0)上取一点P(不取x轴上的点),过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD上的点M满足=(a>b>0),则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点). (2)设A,B两点的坐标分别为(-a,0),(a,0)(a>0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-1(a>c>0),则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点). (3)动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=(a>c)的距离的比是常数,则动点M的轨迹是椭圆. 创新拓宽·变式 [变式1]已知M为圆P:(x+2)2+y2=36的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N,则点N的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 【解析】选C.根据题意,作图如图所示, 易知|NM|=|NQ|,则|NP|+|NM|=6,即 |NP|+|NQ|=6>|PQ|=4,故点N的轨迹是以P,Q为焦点且长轴长为6的椭圆. 设其方程为+=1(a>b>0), 则c=2,2a=6,则a=3,故b==, 则椭圆方程为+=1. [变式2]已知椭圆C:+=1(a>b>0),与x轴的交点为A,B.直线l:y=t(t≠0,|t|<b)与椭圆C交于M,N两点,且点M,A位于y轴的同侧.若kMA·kNA=,则椭圆C的离心率 为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由对称性知,kNA=-kMB. 由kMA·kNA=,得kMA·kMB=-,即·===-=-,所以a2=2b2=2(a2-c2),即=. [变式3]在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(-1,2),且+=0,动点P与M,N连线的斜率之积为-,则动点P的轨迹方程为________________.  【解析】因为点M的坐标为(-1,2),且+=0,所以N(1,-2),设P(x,y),则kMP=,kNP=(x≠±1), 由题意得·=-, 整理可得动点P的轨迹方程为+=1(x≠±1). 答案:+=1(x≠±1) 高考真题·链接 1.(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 【解析】选A.通解(代入法):设M(x0,y0),则P(x0,2y0),因为点P在曲线C上,所以+(2y0)2=16(y0>0),即+=1(y0>0),所以线段PP'的中点M的轨迹方程为+=1(y>0). 2.(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-,记M的轨迹为曲线C,求曲线C的方程,并说明C是什么曲线. 【解析】由题设得·=-,化简得+=1(|x|≠2),所以曲线C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右焦点. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $