3.1.1.1函数的概念难点训练微专题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1.1 函数的概念 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 1.函数概念中需要强调的几点： （1）定义的集合必须是两个非空数集; （2）中不能有闲置的元素,中可以有闲置的元素; （3）一个只能对应一个值,一个值不一定只对应一个值,也可以多个. 2.函数概念问题中容易弄错的两个问题： （1）在函数定义中,集合 不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合 的子集. （2） 定义域与值域都相同的两个函数不一定是同一个函数，如函数 和函数，二者的定义域均为，值域也均为，但两个函数不同.值域与对应关系都相同的两个函数不一定相等.如函数,和函数,，两函数的解析式相同，值域也相同，但定义域不同，所以不是相等函数. 微专题训练 一、单选题 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，A不是； 对于B，集合中的每个值，按，在集合中都有唯一值与之对应，B是； 对于C，集合中没有元素与集合中的0对应，C不是； 对于D，当时，，D不是. 故选：B 3．已知函数，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再对目标式进行化简，得到定值即可. 【详解】易得函数的定义域为， 且， ，故B正确. 故选：B． 4．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先计算，得出，再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数. 【详解】令，则， 则满足条件的有： ；；， 故满足条件的有个. 故选：C 5．若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 7．若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据函数的定义即可求解. 【详解】由题意知：在集合A中有两个自变量取值对应集合B中的同一个值，另一个自变量取值对应剩余的值， 从集合A中的三个元素取出2个元素，共有3种选择，从集合B中的2个元素取出1个元素，共有2种选择， 因此满足题意的函数共有个， 故选：D. 8．给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】对于ABC选项，可举出反例；D选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】对于A: 对，当时，，无实数解， 即不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故A不正确； 对于B: 对，不妨设，则，解得， 不满足唯一的实数与对应，不符合函数定义，故B不正确； 对于C: 对，当时，由得， 即在中不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故C不正确； 对于D:由得，对，都有唯一确定的与之对应， 符合函数定义，可知D正确. 故选：D. 二、多选题 9．若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 10．设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一，所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 11．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．直线x＝a与函数的图象的交点个数是 ． 【答案】0或1/1或0 【分析】讨论、，结合函数的定义判断交点个数. 【详解】设的定义域为D， 若，根据函数的定义知：没有函数值与之对应； 若，根据函数的定义知：有唯一的函数值与之对应． 故交点个数是0或1． 故答案为：0或1 13．已知函数，若满足，则 ． 【答案】12 【分析】由题意得，进一步代入求值即可. 【详解】因为，且满足， 所以，解得， 所以． 故答案为：12． 14．已知函数，若，则 ． 【答案】6 【分析】根据题意，由可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数，且， 即，解得， 所以， 则. 故答案为：6 四、解答题 15．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 16．已知对任意正实数，总有． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，进行赋值求解； （2）令，和，进行赋值求解. 【详解】（1）令，则，故． （2）令，则， 故． 令，则， 又， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1.1 函数的概念 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 1.函数概念中需要强调的几点： （1）定义的集合必须是两个非空数集; （2）中不能有闲置的元素,中可以有闲置的元素; （3）一个只能对应一个值,一个值不一定只对应一个值,也可以多个. 2.函数概念问题中容易弄错的两个问题： （1）在函数定义中,集合 不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合 的子集. （2） 定义域与值域都相同的两个函数不一定是同一个函数，如函数 和函数，二者的定义域均为，值域也均为，但两个函数不同.值域与对应关系都相同的两个函数不一定相等.如函数,和函数,，两函数的解析式相同，值域也相同，但定义域不同，所以不是相等函数. 微专题训练 一、单选题 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（ ） A． B．1 C． D． 4．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 7．若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    10．设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 11．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 12．直线x＝a与函数的图象的交点个数是 ． 13．已知函数，若满足，则 ． 14．已知函数，若，则 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 16．已知对任意正实数，总有． (1)求的值； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $