精品解析：广东省深圳市2020——2021学年九年级下学期开学考数学模拟卷系列（1）（含详解）

2020—2021学年广东深圳九下开学考数学模拟卷系列（1） 一．选择题（每小题3分共30分） 1. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=3，DE=l.6，则EF=（ ） A. 2.4 B. 1.8 C. 2.6 D. 2.8 5. 下列运算正确的是（　　） A. a2+2a＝3a3 B. （﹣2a3）2＝4a5 C. （a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D. （a+b）2＝a2+b2 6. 若△ABC∽△DEF，＝2，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 9. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（ ） A. 4米 B. 4.5米 C. 5米 D. 5.5米 10. 下列命题中，真命题是（ ） A. 反比例函数中，y随x增大而减小 B. 连接矩形四边中点的四边形是平行四边形 C. 9的平方根是3 D. 经过平行四边形对角线交点的直线平分这个平行四边形的面积 11. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，；其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是的中点，连接，设与交于点N，与交于点，则下面结论中，正确的个数有（ ） ①；②；③；④若，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（每小题3分共15分） 13. 已知一元二次方程x2－c＝0有一个根为2，则c的值为____． 14. 若＝，则的值为______． 15. 在数学中，为书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如：记，，，已知，则m的值为______． 16. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图象上，则点B的坐标为__________． 三．解答题（共7小题，共55分） 17. 计算： 18. 解方程： 19. “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了　 　名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （3）扇形统计图中m的值是　 　，类别D所对应的扇形圆心角的度数是　 　度； （4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时． 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，交CB延长线于点E，交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF为矩形． （2）连接OE，若，，则的值为______． 21. 疫情期间，某学校需购买，两种消毒剂，负责人小李调查发现： 购买数量： 种类： 购买数量少于100瓶 购买数量不少于100瓶 原价销售 全部以原价的8折销售 原价销售 全部以原价的9折销售 若种消毒剂每瓶原价比种消毒剂每瓶原价少10元，用1200元以原价购买种消毒剂与用1500元以原价购买种消毒剂的数量相同． （1）求，两种消毒剂每瓶原价各为多少元？ （2）该学校预计购买，两种消毒剂共200瓶，且种消毒剂不少于种消毒剂数量的，如何购买使所需费用最少，最少费用为多少元？ 22. 如图，以点为圆心的圆与轴、轴分别交于点，与相切于点的直线交坐标轴分别于点、． （1）求的半径； （2）如图，连接，弦交轴于点，若，求的值． （3）如图，点为上一个动点，连接，求的最小值． 23. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020—2021学年广东深圳九下开学考数学模拟卷系列（1） 一．选择题（每小题3分共30分） 1. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，即乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：根据倒数的定义，的倒数为； 故选：D． 2. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线， 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 3. 禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】． 故选B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=3，DE=l.6，则EF=（ ） A. 2.4 B. 1.8 C. 2.6 D. 2.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质可求出EF的长． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴， 即， ∴EF=2.4． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 5. 下列运算正确的是（　　） A. a2+2a＝3a3 B. （﹣2a3）2＝4a5 C. （a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D. （a+b）2＝a2+b2 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式以及完全平方式的计算法则进行计算即可． 【详解】解：a2与2a不是同类项，不能合并，因此选项A不符合题意； (-2a3)2=4，因此选项B不符合题意； (a+2)(a-1)=a2+a-2，因此选项C符合题意； ，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式以完全平方式的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提． 6. 若△ABC∽△DEF，＝2，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，＝2， ∴, ∵△ABC面积为8， ∴△DEF的面积＝＝2． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 7. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知： 且 故选：B 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 9. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（ ） A. 4米 B. 4.5米 C. 5米 D. 5.5米 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB. 【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D ∴△ADEF∽△DCB ∴ ∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m ∴解得：BC=4 ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米 故答案为5.5. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 10. 下列命题中，真命题是（ ） A. 反比例函数中，y随x增大而减小 B. 连接矩形四边中点的四边形是平行四边形 C. 9的平方根是3 D. 经过平行四边形对角线交点的直线平分这个平行四边形的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判定命题的真假，包括反比例函数的增减性，菱形的判定与性质，平方根的定义，以及平行四边形的性质，正确判断命题真假是解决本题的关键． 根据反比例函数的增减性，菱形的判定与性质，平方根的定义，以及平行四边形的性质依次判断选项即可． 【详解】选项A：反比例函数增减性一定要说明“在每一象限内”，故A错误； 选项B：矩形的各边中点分别为，连接各边中点，如图， ∵点分别为的中点， ∴， 同理可得，，， ∵矩形对角线相等，即， ∴， ∴四边形为菱形， 即连接矩形的四边中点的四边形是菱形，故B错误； 选项C：9的平方根是，故C错误； 选项D：∵平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线，都会将该图形分成两个能够完全重合的部分， ∴这两部分的面积相等，即该直线平分平行四边形的面积， ∴经过平行四边形对角线交点的直线平分这个平行四边形的面积，故D正确． 故选：D． 11. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，；其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线的对称性方程可得 由抛物线的图象过点，可得 从而可得 结合＜可判断②，由 可得 可判断③，由函数的最大值可判断④，从而可得答案． 【详解】解： 图像开口向下， ＜ ＞ ＞ 函数图像与轴交于正半轴， ＞ ＜ 故①符合题意； 抛物线的对称轴为： 抛物线的图象过点， ＜ ＞ ＜ 故②符合题意； 由 故③符合题意； 当时，函数有最大值 当， ， ，故④符合题意． 故选： 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是的中点，连接，设与交于点N，与交于点，则下面结论中，正确的个数有（ ） ①；②；③；④若，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键． 先根据全等三角形的性质得到，，故①正确；根据等腰三角形的性质可得，再根据角度的关系可判断，故②正确；根据相似三角形的性质得到；故③正确；在上取一点H，使，则，根据三角形中位线定理得到，则可求解，故④正确． 【详解】解：在正方形中，， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； 由可得， 则易得，即是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即，故③正确； 在上取一点H，使，如图， 则有点C为的中点， 又M是的中点， 则是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：A． 二．填空题（每小题3分共15分） 13. 已知一元二次方程x2－c＝0有一个根为2，则c的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】直接把x=2代入方程得到关于c的一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把x=2代入方程得4-c=0， 解得c=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 14. 若＝，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由＝可得 ，代入计算即可. 【详解】解：∵＝， ∴， 则 故答案为4. 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 在数学中，为书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如：记，，，已知，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，根据二次项的系数判断出这个多项式有三项是解本题的关键． 根据二次项的系数为3，可得，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可． 【详解】解：∵二次项的系数为3， ∴可以判断， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图象上，则点B的坐标为__________． 【答案】（，0） 【解析】 【分析】首先根据点C是反比例函数（x＞0）图象上一点，设点C的坐标为，设点B的坐标为（a，0），则AB的中点D的坐标为；然后证明△AED∽△DFC，根据，列出关于a、x的方程组，解方程组即可求出当△ABC是等边三角形时，点B的坐标为多少即可． 【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，CG⊥OB于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F， 设点C的坐标为，点B的坐标为（a，0）， ∵△ABC是等边三角形， ∴D为AB的中点， ∴CD⊥AB， ∵； ∵CD⊥AB， ∴∠ADE+∠CDF=90°， ∵∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠DAE=∠CDF， ∵∠AED=∠CFD=90°， ∴△AED∽△DFC， ∴， 即， 整理，可得， 由①②，解得，（舍去）， ∴当△ABC是等边三角形时，点B的坐标为：（，0）． 故答案为：（，0） 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及等边三角形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形边上的高是这个边的中线． 三．解答题（共7小题，共55分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值即可解题. 【详解】解: = 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值得化简求值,属于简单题,熟悉三角函数值是解题关键. 18. 解方程： 【答案】无实数根 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法求解方程是解题的关键；因此此题可根据公式法求解方程． 【详解】解：原方程可变形为：， ∵， ∴， ∴原方程无实数根． 19. “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了　 　名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （3）扇形统计图中m的值是　 　，类别D所对应的扇形圆心角的度数是　 　度； （4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时． 【答案】（1）50； （2） （3）32，57.6； （4）该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时． 【解析】 【分析】（1）本次共调查了10÷20%＝50（人）； （2）B类人数：50×24%＝12（人），D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），根据此信息补全条形统计图即可； （3）＝32%，即m＝32，类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°； （4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名）． 【详解】（1）本次共调查了10÷20%＝50（人）， 故答案为50； （2）B类人数：50×24%＝12（人）， D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人）， （3）＝32%，即m＝32， 类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°， 故答案为32，57.6； （4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数． 800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名）， 答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，交CB延长线于点E，交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF为矩形． （2）连接OE，若，，则的值为______． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再证∠AEC=90°，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AB=AD=BC=5，OA=OC，再由勾股定理得BE=3，则EC=8，然后由平行线分线段成比例判断G为EC中点，从而求出EG，最后在Rt△EOG中根据正切定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过O作OG⊥EC于点G， ， 又AE⊥EC， ∴， ∴ ∵四边形ABCD是菱形，AD=5， ∴OA=OC，AB=BC=AD=5， ∴CG=EG， 在Rt△ABE中，AB=5，AE=4， ∴， ∴EC=BE+BC=8， ∴， ∵OA=OC，CG=EG， ∴， 在Rt△OEG中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行线分线段成比例、勾股定理以及正切的定义等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键． 21. 疫情期间，某学校需购买，两种消毒剂，负责人小李调查发现： 购买数量： 种类： 购买数量少于100瓶 购买数量不少于100瓶 原价销售 全部以原价的8折销售 原价销售 全部以原价的9折销售 若种消毒剂每瓶原价比种消毒剂每瓶原价少10元，用1200元以原价购买种消毒剂与用1500元以原价购买种消毒剂的数量相同． （1）求，两种消毒剂每瓶原价各为多少元？ （2）该学校预计购买，两种消毒剂共200瓶，且种消毒剂不少于种消毒剂数量的，如何购买使所需费用最少，最少费用为多少元？ 【答案】（1），两种消毒剂每瓶原价分别为40元瓶，50元瓶 （2）当购买种消毒剂80瓶，种消毒剂120瓶时，所需费用最少，最少费用为8600元 【解析】 【分析】（1）设种消毒剂每瓶原价为元瓶、则种消毒剂每瓶原价元瓶，根据1200元以原价购买种消毒剂与用1500元以原价购买种消毒剂的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买种消毒剂瓶，则购买种消毒剂瓶，费用为元，根据种消毒剂不少于种消毒剂数量的，求出，则，即可求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设种消毒剂每瓶原价为元瓶、则种消毒剂每瓶原价元瓶， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：，两种消毒剂每瓶原价分别为40元瓶，50元瓶； 【小问2详解】 解：设购买种消毒剂瓶，则购买种消毒剂瓶，费用为元， 种消毒剂不少于种消毒剂数量的， ， 解得，， ∴， ∴， ∵， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时，， 答：当购买种消毒剂80瓶，种消毒剂120瓶时，所需费用最少，最少费用为8600元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键． 22. 如图，以点为圆心的圆与轴、轴分别交于点，与相切于点的直线交坐标轴分别于点、． （1）求的半径； （2）如图，连接，弦交轴于点，若，求的值． （3）如图，点为上一个动点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）连接，由锐角三角函数可得，进而根据直角三角形的性质即可求解； （）连接，由圆周角定理可得，即得，设，，利用勾股定理可得，即得，又由直角三角形的性质可得，再由得到，代入计算即可求解； （）在轴上取一点，使，可得，得到，即得，得到求的最小值，即是求的最小值，当在同一直线上时，有最小值，最小值为的长度，进而利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的半径； 【小问2详解】 解：如图，连接，则， ∴， 设，， ∵， ∴在，由勾股定理可得， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，在轴上取一点，使， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴求的最小值，即是求的最小值，当在同一直线上时，有最小值，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）M（，0）；（3）存在，点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 令y＝0，则0＝﹣x+2， ∴x＝4， ∴B（4，0）， ∵点C在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴c＝2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+2， ∵点B（4，0）在抛物线上， ∴﹣8+4b+2＝0， ∴b＝， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）∵|BM﹣CM|最小， ∴|BM﹣CM|＝0， ∴BM＝CM， ∴BM2＝CM2， 设M（，m）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2， ∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2， ∴m＝0， ∴M（，0）； （3）存在，理由： 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2， 令y＝0，则0＝﹣x2+x+2， ∴x＝4或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25， ∴CB2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵NH⊥x轴， ∴∠BHN＝90°＝∠ACB， 设N（n，﹣n2+n+2）， ∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|， ∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴①△BHN∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍）， ∴N（﹣5，﹣18）或（3，2）， ②△BHN∽△BCA， ∴， ∴＝， ∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2， ∴N（0，2）或（﹣2，﹣3）， 即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $