平面向量的概念及线性运算讲义-2026届高三数学一轮复习
平面向量的概念及线性运算
课前学习任务
一、课标解读
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示.
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解其几何意义.
3.通过实例,掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.
4.理解向量的线性运算性质及其几何意义.
二、必备知识
1.向量的有关概念
名称 | 定义 | 备注 |
向量 | 既有 又有 的量叫做向量;向量 | 记作|
注意字母的前后顺序 |
零向量 | 长度为 的向量叫做零向量 | 记作0 |
单位 向量 | 长度等于 的向量,叫做单位向量
一个与之同向,另一个反向,这两个单位向量互为相反向量 | 与非零向量a共线的单位向量为± |
平行向 量(共线 向量) | 方向 或 的非零向量叫做平行向量(共线向量) | 零向量与任意向量平行 |
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相等 向量 | 长度 且方向 的向量叫做相等向量 | 两向量只有相等或不相等,不能比较大小 |
相反 向量 | 长度 且方向 的向量叫做相反向量 | 零向量的相反向量仍是零向量 |
[教材知识深化]
1.单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与向量a平行的单位向量有两个,即向量
和-.
2.注意0与0的区别,0是一个向量,0是一个实数,且|0|=0,一个向量是零向量的充要条件是其模等于0.
3.零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.
4.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.
2.向量的线性运算
向量 运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
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加法 | 求两个向量和的运算,叫做向量的加法 |
三角形法则
适用于任意两个非零向量求和
平行四边形法则
只能用于两个不共线向量求和 | 交换律:a+b=
结合律: (a+b)+c= |
减法 | 向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法 |
三角形法则 | — |
数乘 | 求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘 | |λa|= ; 当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;当λ<0时,λa的方向与a的方向 ;当λ=0时,λa=0 | λ(μa)= ; (λ+μ)a= ; λ(a+b)= (λ,μ为实数) |
[教材知识深化]
1.两个向量的和仍然是一个向量.
2.利用三角形法则时,两向量要首尾相连,利用平行四边形法则时,两向量要有相同的起点.
3.当两个向量共线时,三角形法则仍然适用,而平行四边形法则不再适用.
3.共线向量定理
不能漏掉这一条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得 .
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