拉密定理在求解力学动态平衡问题中的应用-《中学生数理化》高中理化2025年9月刊

中学生表理化鳄师业经圣酸方法 拉密定理在求解力学动态平衡问题中的应用 ■河南省郑州市实验高级中学 邱小彬 力学动态平衡问题是高考考查的热点， 物体受到的三个力F1、F2、F,平移至首尾相 也是同学们学习中的难点。处理力学动态平 接构成封闭的三角形，标出对 衡问题的常规方法有解析法、图解法、相似三 应的角度关系，如图3所示。 角形法等。若遇到的三力动态平衡问题中， 利用三角函数公式sin(元一 F F 其中一个力恒定，另外两个力均改变方向，但 0)=sin0及正弦定理得 20 这两个力的夹角保持不变，则采用常规方法 F F, 求解往往过程复杂，运算烦琐，而利用拉密定 sin(π-01) sin(π-02) 图3 理，只需弄清三个力的夹角变化情况，依据正 F 弦函数的单调性，简单套用公式便可快速求 sin(元一8，)，整理得 F sin 0 F 解。下面具体阐述，供同学们参考。 sin 02 sin 03 一、拉密定理的内容 2.拉密定理的适用条件。 1.三力汇交原理。 根据拉密定理的数学表达式可知，若要 在了解拉密定理内容之前，有必要先了 判断某个力的大小如何变化，则至少要保证 解一下三力汇交原理。三力汇交原理是力学 某个角为定值。因此，当遇到的三力动态平 中的一个重要定理，其内容是当物体在同一 衡问题中，有两个力或者一个力的方向改变， 平面内受到三个不平行的力作用而处于平衡 且有一个两力夹角保持不变，就可以考虑利 状态时，这三个力的作用线必定汇交于一点， 用拉密定理来分析与判断。 且这三个力的合力为零。如图1所示。 三、拉密定理在力学动态平衡问题中的 F 应用实例 0 例1(2022年高考河北卷)如图4所 示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂 在竖直木板上的P点，将木板以底边MN为 轴向后方缓慢转动直至水平，细绳与木板之 F 间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间 图1 图2 的摩擦，在转动过程中( 2.拉密定理。 如图2所示，当物体受到的三个力共面， 且这三个力的合力为零时，每个力的大小与 另外两个力之间夹角的正弦值成正比，其数 F F, F 学表达式为sin9一sin0,-sin0, 二、拉密定理的证明及适用条件 1.结合正弦定理可证明拉密定理 图4 在任意△ABC中，边a对应角A,边b A.圆柱体对木板的压力逐渐增大 对应角B,边c对应角C,根据正弦定理得 B.圆柱体对木板的压力先增大后减小 b C.两根细绳的拉力均先增大后减小 a sinA=sinB=sinC。 将处于平衡状态的 D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持 32 解是典题资壁方清中学生表理化 不变 知T逐渐减小，根据N=mg cos日+gsin里 解法一：拉密定理法。圆柱体处于静止 cos a 状态，设圆柱体受到的重力为g,两根细绳 sin a-mg cos B tan a.sin B)- 对圆柱体拉力的合力为T,木板对圆柱体的 √1十tan'a mg sin(B+g)知N先增大后减 支持力为N,N与T之间的夹角为a,mg与 小，选项D错误。根据牛顿第三定律可知，圆 T之间的夹角为B,mg与N之间的夹角为 柱体对木板的压力先增大后诚小，选项A错 Y,圆柱体的受力情况如图5所示，根据拉密 误，B正确。根据对称性，设两根细绳之间的 定理得mg=NT sin a sinB-siny在木板以底边 夹角为2θ，每根细绳对圆柱体的拉力为T‘, MN为轴向后方缓慢转动直至水平的过程 则2T'c0s8=T,即T'=2co99,因为0保持 中，细绳与木板之间的夹角保持不变，则N 不变，T逐渐减小，所以T‘逐渐减小，选项C 与T之间的夹角α保持不变，B从钝角逐渐 错误。 减小到锐角，y从90°逐渐增大到180°，所以 答案：B sina保持不变，sinB先增大后诚小，siny一 ,点评：本题的物理情景复杂，涉及空间受 直减小，所以N先增大后减小，T一直减小， 力分析，采用常规解法对同学们的空间想象 选项D错误。根据牛顿第三定律可知，圆柱 能力、数学知识运用能力的要求较高，运算量 体对木板的压力先增大后减小，选项A错 较大，一旦某一步思维卡顿，便无从求解。而 误，B正确。根据对称性，设两根细绳之间的 用拉密定理求解，很快便能找到解题的突破 夹角为28，每根细绳对圆柱体的拉力为T', 口，理顺解题思路，方便简捷。 T 则2T'os0=T,即T'=20s9,因为0保持 例2如图7所示，光滑圆柱A和半 圆柱B紧靠着静置于水平地面上，二者半径 不变，T逐渐减小，所以T‘逐渐减小，选项C 均为R。圆柱A的质量为m,半圆柱B的质 错误。 量为？，半圆柱B与地面间的动摩擦因数为 “。现对圆柱A施加一拉力F,使圆柱A缓 慢移动，移动过程中拉力F与两圆心连线 O1O2之间的夹角为60°保持不变，直至圆柱 g mg A恰好运动到半圆柱B的最高点，整个过程 图5 中半圆柱B保持静止，假设最大静摩擦力等 图6 于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法 解法二：常规解法。设圆柱体受到的重 正确的是( 力为g,两根细绳对圆柱体拉力的合力为 A T,木板对圆柱体的支持力为N,合力T与 060 木板之间的夹角为α，木板与水平方向之间的 夹角为B,在木板以底边MN为轴向后方缓 77777777 7777777777777 慢转动直至水平过程中的某一位置处，沿木 图7 板和垂直于木板方向建立坐标系，如图6所 A.圆柱A与半圆柱B间的弹力一直增大 示。圆柱体处于平衡状态，则在沿木板方向 B.拉力F逐渐增大 上有mg sin B=Tcosa,在垂直于木板方向上 C.拉力F先减小后增大 有ng cos B十Tsin a=N。将木板以底边 D.圆柱A与半圆柱B间弹力的最大值 MN为轴由竖直缓慢转动至水平，a保持不 为2 变，9从90°逐渐减小到0，根据T=mgsin 3mg cos a 解法一：拉密定理法。以圆柱A为研究 33 中学生款理化丝怒典案破方法 对象，它受到重力mg、拉力F和半圆柱B对 把握不准，便会使得解题走进“死胡同”。相 它的弹力N,根据题意知这三个力的合力始 较而言，采用拉密定理求解本题，只需画出圆 终为零，N与F间的夹角为120°且保持不 柱A的受力分析图，标出对应的夹角，注意 变，设mg与N间的夹角为a,mg与F间的 正弦函数的单调性即可作出正确判断。 夹角为B,如图8所示。根据拉密定理得 总结：求解力学动态平衡问题，拉密定理 mg 一。一。在圆柱A爱馒移动 可以发挥重要的作用。相比解析法、图解法、 相似三角形法，以及矢量圆法等常规方法，拉 的过程中，a的取值范围为120°至180°，B的 密定理法对于同学们的空间想象能力、模型 取值范围为120°至60°，所以圆柱A与半圆 构建能力的要求相对不高，同学们若能熟记 柱B间的弹力N先增大后减小，拉力F逐渐 定理内容，明确适用条件，找好角度关系及函 减小，选项A、B、C错误。当B取90时，N取 数变化规律，就能方便快捷地求解部分难度 最大值，且最大值为25m ,选项D正确 较大的力学动态平衡问题，同学们不妨一试。 3 银踪训练 120° 1.如图10所示，轻绳AC和BC的A、B 端分别固定在天花板上，结点C拴接另一段 mg 轻绳CD,轻绳CD的D端系一个重球。重 mg 球在竖直面内绕结点C来回摆动，在重球摆 图8 图9 动的过程中，轻绳AC和BC与天花板之间 解法二：矢量圆法。以圆柱A为研究对 的夹角a=65°、B=25°保持不变。当轻绳AC 象，它受到重力mg、拉力F和半圆柱B对它 与BC的拉力相等时，轻绳CD与竖直方向 的弹力N,根据题意知这三个力的合力始终 间的夹角为( )o 为零，将这三个力平移至首尾相接构成封闭 A.10 B.20 C.30 D.409 三角形，以表示重力mg的有向线段为一固 B 定不变的弦构造“力学动态圆”，如图9所示。 在圆柱A由初始位置缓慢移动到半圆柱B 最高点的过程中，表示弹力N的有向线段的 长度先增大后减小，即弹力N的大小先增大 0 后诚小，选项A错误；表示拉力F的有向线 图10 图11 段的长度一直减小，即拉力F逐渐减小，选 2.(多选题)如图11所示，倾角a=60°的 项B、C错误。当mg与N间的夹角日=30 光滑斜面OA固定在水平地面上，光滑挡板 (表示弹力N的边为直径)时，圆柱A与半圆 OB可绕转轴O在竖直平面内转动。现将一 柱B间的弹力最大，且最大值为2ms,选 重力为G的圆球放在斜面与挡板之间，挡板 3 与水平面间的夹角B=60°。若挡板从图示位 项D正确。 置沿顺时针方向缓慢转动60°，则下列说法正 答案：D 确的是()。 点评：采用矢量圆法求解本题，看似也很 A.圆球对挡板的压力逐渐增大 简单，实则存在两个主要难，点，一是动态圆的 B.圆球对挡板的压力先减小后增大 构造思维难度大（比如哪条边固定不动，哪些 C.斜面对圆球的支持力逐渐减小、 边可以移动，如何移动，以及移动的深层次原 D.斜面对圆球的支持力先减小后增大 因是什么等)，二是难以将表示力的有向线段 参考答案：1.B2.BC 的转动情况和题述情景准确照应起来，一旦 (责任编辑张 巧) 34