图像法探究“力的分解”之“解”-《中学生数理化》高中理化2025年9月刊

图像法探究“力 ■北京师范大学贵阳附属中 一个力能否分解成两个互成角度的分 力，用图像表达即判断代表合力的对角线与 代表分力的有向线段能否构成平行四边形， 若可以则说明合力可以分解成两个分力，若 不可以则说明无解。 一、知识铺垫：矢量三角形 如图1所示，代表两个 分力F1、F,的有向线段首尾 相连，另两个端头的连线表 0 示合力F合（代表合力的有向 线段的箭头端和代表分力F。 图1 的有向线段的箭头端汇聚)。 二、问题：合力F合确定，通过作图求两 个分力F1和F2 1.若已知两个分力F1和F,的方向，如 图2所示，则有唯一解。 图2 图3 2.若已知一个分力F1或F,的大小和方 向，如图3所示，则有唯一解。 3.若已知一个分力F,的大小和另一分 力F2的方向（即已知F2和F合的夹角日），将 F合分解，则其结果存在以下五种可能。（先 计算F合sin8) (1)若F1<F合sinθ，以代表F合的有向 线段的箭头端为圆心，以F1大小为半径画圆， 如图4所示，圆与F,所在直线相离，则无解。 020 图4 图5 知器理视识练的军钙骨中学生表理化 的分解”之“解” 学 陈卫国（正高级教师） (2)若F1=F合sin日，以代表F合的有向 线段的箭头端为圆心，以F1大小为半径画 圆，如图5所示，圆与F,所在直线相切，则有 一个解。 (3)若F合sinθ<F1<F合，以代表F合的 有向线段的箭头端为圆心，以F,大小为半径 画圆，如图6所示，圆与F,所在直线相交，则 有两个解。 图6 图7 (4)若F,=F合，以代表F合的有向线段的 箭头端为圆心，以F1大小为半径画圆，如图7 所示，圆与F2所在直线相交，则有一个解。 (5)若F1>F合，以代表F合的有向线段 的箭头端为圆心，以F,大小为半径画圆，如 图8所示，圆与F2所在直线相交，则有一 个解。 <10 图8 4.若已知两个分力F1和F2的大小，将 F合分解，则其结果存在以下三种可能。 (1)若F合>F1十F2或F合<|FL一F2|, 则无解。（这三个力不能构成矢量三角形） (2)若F合=F1十F2或F合=|F1一F,|, 则有一个解。（同一条直线上力的分解） (3)若|F1一F2|<F合<|F1十F2|,先以 25 中学生表理化智丝如照糖展 代表F合的有向线段的箭尾端为圆心，以F! 大小为半径画圆，再以代表F合的有向线段 的箭头端为圆心，以F2大小为半径画圆，如 图9所示，两个圆相交，则在一个平面内有两 个解。 图9 图10 5.若没有给出分力的限制条件，如图10 所示，则有无数解。 三、拓展延伸：利用矢量三角形求分力的 最小值（作垂线，找直角三角形） 1.若合力F合确定，一个分力F,的方向 (F1和F合的夹角)确定，求另一个分力F, 的最小值，过代表F合的有向线段的箭头端作 F1的垂线，如图11所示，则F,的最小值等 于垂线段的长度，即Fmim=F合sin日。 010 图11 图12 2.若一个分力F1确定，合力F合的方向 (F合和F1的夹角)确定，求另一个分力F: 的最小值，过代表F,的有向线段的箭头端作 F合的垂线，如图12所示，则F,的最小值等 于垂线段的长度，即F2mim=F1sinB。 四、实际应用 例1把力F分解，要求其中一个分 力F2与F成30°角，而大小未知；另一个分 力FF,但方向未知。试确定力F的 大小。 解析：由问题中的3(3)可知，F>F1> Fsin30°，以代表F的有向线段的箭头端为 圆心，以F= 3F为半径画圆，圆与F,所在 26 直线相交，如图13所示，可构成两个矢量三 角形，故F2有两个解。根据几何关系得 F,=Fc0s30°-√屑-(Fsin30y=5F或 3 F.=Fcos30°+√F-（Fsn307-2y5F. 3 030 图13 例2如图14所示，重力为G的小球 用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳 偏离竖直方向60°角且保持不变，当力F与 竖直方向间的夹角为日时取得最小值，试确 定日，并求出力F的最小值。 0 60 G G 图14 图15 解析：小球受到的轻绳拉力T和力F的 合力一定（与小球的重力平衡），其中拉力T 的方向一定，根据拓展延伸中的1可知，当力 F与拉力T垂直时，力F取得最小值（如图 15所示)，故0=90°-60°=30°，且Fmim= Gcos=3 2 G。 总结：物理图像是数与形、动与静、抽象 与形象、数学与物理相结合的产物，具有形 象、直观、简明、实用的特点，能够恰如其分地 表述用语言难以表达的内涵。图像法能够解 决的物理问题，常规方法通常也能解决，但图 像法以它直观、简洁的特点避免了繁杂的运 算，因而优于常规方法。当然，图像法是更高 层次的物理分析方法，必须在深入理解物理 问题本质的基础上才能有效应用。 (责任编辑张巧)