精品解析：辽宁省 阜新市阜新实验中学2020-2021学年八年级下学期期中数学卷

八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，本题共16分） 1. 如图，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的含义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、，则，该选项正确； B、，则＞，该选项错误； C、，则＞，该选项错误； D、，则＜，该选项错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 3. 已知等腰三角形有一边长为，一边长为，则其周长为（ ） A. B. C. D. 12或9 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，可分两种情况：①5为腰长，2为底边长；②2为腰长，5为底边长，依次分析即可求得答案． 【详解】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， 此时周长为：5+5+2=12； ②若2为腰长，5为底边长， ∵2+2=4<5，不能组成三角形，故舍去； ∴三角形周长为12． 故选：A． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论． 4. 使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 一个锐角对应相等 B. 两个锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 斜边及一条直角边对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：A、一个锐角对应相等，利用已知直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误； B、两个锐角相等，那么也就三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5. 在数轴上表示不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解题的关键． 把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 6. 如图，在中，AD是边BC的垂直平分线，，BD=2，那么AC的长度是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出AB=AC，结合已知条件得出，再根据的角所对的直角边是斜边的一半，即可得出AC长 【详解】解：∵AD是边BC的垂直平分线， ∴AB=AC， ∵ ∴ ∴AB=2BD， ∵BD=2， ∴AC=AB=4 故选：D 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 7. 如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3（ ） A. 70° B. 180° C. 110° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】作AB∥a，先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2＝180°－∠1＋∠3，变形可得结果． 【详解】作AB∥a，由直线a平移后得到直线b， 所以，AB∥a∥b 所以，∠2＝180°－∠1＋∠3， 所以，∠2－∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110°． 故选：C 【点睛】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答． 8. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0； 当x＜﹣1时，kx+b＜mx， 所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 二、填空题：（每小题2分，本题共16分） 9. 用反证法证明“若，则”是真命题，第一步应先假设___________________． 【答案】a2≥4 【解析】 【分析】直接利用反证法的步骤，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4．”是真命题时，第一步应先假设：a2≥4． 故答案为：a2≥4． 【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 10. 在中，，当__________________时，是等腰三角形． 【答案】70°或40°或100° 【解析】 【分析】分三种情况，根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解． 【详解】解：当∠A为顶角等于40°时，∠B=×（180°－40°）=70°，△ABC是等腰三角形， 当∠A=∠B=40°时，△ABC是等腰三角形， 当∠A=∠C=40°时，则∠B=100°，△ABC是等腰三角形， 故答案为：70°或40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，注意分类讨论得出是解题关键． 11. 不等式3（2x+1）≤2+2x的最大整数解是_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】先解不等式得到解集，然后根据解集确定最大整数解即可． 【详解】解：3（2x+1）≤2+2x 6x+3≤2+2x 6x-2x≤2-3 4x≤-1 x≤ 所以该方程的最大整数解为-1． 故答案为-1． 【点睛】本题主要考查了求不等式的最大整数解，正确求解一元一次不等式是解答本题的关键． 12. 小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则根据题意可列不等式为______． 【答案】2(30-x)+5x≤100 【解析】 【分析】设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据费用不超过100元钱即可列出不等式． 【详解】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本， 根据题意得：2(30-x)+5x≤100， 故答案为：2(30-x)+5x≤100． 【点睛】题目主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键． 13. 如图，在中，，平分，，，则点到距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4， 故答案为：4． 14. 如图，点D为等边△ABC内部一点，且∠ABD=∠BCD，则∠BDC的度数为_______． 【答案】120° 【解析】 【分析】先根据△ABC是等边三角形得到∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，再根据∠ABD=∠BCD得到∠BCD+∠CBD=60°，再利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵△ABC等边三角形， ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°（等边三角形的内角都是60°）， 又∵∠ABD=∠BCD， ∴∠ABD+∠CBD =∠BCD+∠CBD=60°（等量替换）， ∴∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=180°-60°=120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等量替换原则，解题的关键是熟练掌握各个知识点． 15. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，∠BAE＝∠CDE＝136°，则∠C的度数是___． 【答案】24° 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠DAE=∠BAC，∠B=∠ADE=44°，由周角的性质可求∠BAC的度数，即可求解． 【详解】解：∵∠CDE=136°， ∴∠ADE=44°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴∠DAE=∠BAC，∠B=∠ADE=44°， ∵∠DAE+∠BAC+∠BAE=360°， ∴∠BAC=112°， ∴∠C=180°∠B∠BAC=24°， 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 16. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论： ①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到； ②连接OO′，则OO′=4； ③∠AOB=150°； ④S四边形AOBO′=6+4． 其中正确的结论是_____________________． 【答案】①②③④ 【解析】 【详解】试题解析：如图，连接OO′； ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°，AB=CB； 由题意得：∠OBO′=60°，OB=O′B， ∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′=∠CBO， ∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°， ∴选项②正确； 在△ABO′与△CBO中， ， ∴△ABO′≌△CBO（SAS）， ∴AO′=OC=5， △BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到， ∴选项①正确； 在△AOO′中，∵32+42=52， ∴△AOO′为直角三角形， ∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°， ∴选项③正确； ∵S四边形AOBO′=， ∴选项④正确． 综上所述，正确选项为①②③④． 考点：旋转的性质． 三、计算题：（第17题每小题8分，第18题每小题8分，本题共18分） 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），把解集在数轴上表示见解析；（2），把解集在数轴上表示见解析． 【解析】 【分析】(1)先移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可； (2)先通分，去括号再移项，合并最后系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可； 【详解】解：（1） 移项得： 合并得： 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为： （2） 通分为： 即：， 移项合并得： 系数化为1得：， 在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查了解不等式，根据不等式的性质解不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1） 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为： 在数轴上表示为： （2） 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为： 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 四、画图题（本题共6分） 19. △ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示． （1）作△ABC 向右平移 2 个单位后的△A1B1C1； （2）作△A1B1C1关于点 O 成中心对称的△A2B2C2； 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)依据平移的方向和距离，即可得到△ABC向右平移2个单位的△A1B1C1； (2)依据中心对称的性质，即可作△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2． 【详解】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求； (2)如图所示，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，根据旋转变换和平移变换的定义正确得出对应点位置是解题的关键． 五、解答题：（第20题、21题各8分，本题共16分） 20. 某工厂要招聘A，B两个工种的工人180人，要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍．那么该工厂招聘A工种工人最多多少人？ 【答案】最多60人 【解析】 【分析】设该工厂招聘A工种工人x人，则招聘B工种工人（180﹣x）人，根据题意“B工种的人数不少于A工种人数的2倍”即可得到关于x的一元一次不等式，解出x并取最大值，即可得出结果． 【详解】（1）设该工厂招聘A工种工人x人，则招聘B工种工人（180﹣x）人， 依题意得：180﹣x≥2x， 解得：x≤60． 答：该工厂招聘A工种工人最多60人． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用问题，根据题意正确列出一元一次不等式是解本题的关键． 21. 甲、乙两旅行社假期搞组团促销活动，甲：“若领队买一张全票，其余可半价优惠”．乙“包括领队在内，一律按全票价的六折优惠”．已知全票价为120元，你认为选择哪家旅行社更优惠？ 【答案】团内少于4人时，选择乙旅行社更优惠；当团内有4人时，选择两家旅行社收费一样；当团内多于4人时，选择甲旅行社更优惠 【解析】 【分析】根据题意写出、的表达式，再分类讨论、的大小关系即可得出结果． 【详解】设团内人数为x（不包括领队）， 则甲旅行社的收费为y甲＝120+60x， 乙旅行社的收费y乙＝72+72x （1）由y甲＞y乙，得120+60x＞72+72x，解之得x＜4 （2）由y甲＝y乙，得120+60x＝72+72x，解之得x＝4 （3）由y甲＜y乙，得120+60x＜72+72x，解之得x＞4 故当团内少于4人时，选择乙旅行社更优惠；当团内有4人时，选择两家旅行社收费一样；当团内多于4人时，选择甲旅行社更优惠． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键在于写出解析式，根据题意列出不等式． 六、解答题（第22题每小题8分，第23题10分，本题共18分） 22. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，交AC于点E，连接BE，∠CBE＝2∠ABE，求∠C的度数． 【答案】∠C＝36° 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理得到，则解方程即可； 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质，解题关键求出与其它角的关系． 23. 已知：如图，ADBC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行线、角平分线的性质得出∠DOC＝∠BOC，CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，根据全等三角形的判定（角边角）得出△DCO≌△BCO，再由全等三角形、垂直平分线、角平分线的性质证明即可． 【详解】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°． ∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD， ∴∠ODC+∠OCD＝90°． ∴∠DOC＝90°． ∴∠DOC＝∠BOC． 又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO， ∴△DCO≌△BCO（ASA）． ∴CB＝CD． ∴OB＝OD． ∴CE是BD的垂直平分线． ∴EB＝ED， 又∵∠DOC＝90°． ∴EC平分∠BED． ∴点O到EB与ED的距离相等． 【点睛】本题考查平行线，角平分线，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的理解与综合应用能力．涉及两直线平行，同旁内角互补；两角及其夹边对应相等对应相等的两个三角形，是全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角相等；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；综合运用相关知识点进行证明是解本题的关键． 七、探究题（本题共10分） 24. （1）如图①，在四边形中， ，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证得到，从而把转化在一个三角形中即可判断之间的等量关系 ； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，因为以及等角对等边得，结合点E是的中点，则，证明，即可作答． （2）延长交的延长线于点G，根据E是的中点，得，由可得，继而证明，得到，根据是的平分线，得，从而得，即可作答． 【详解】解：（1）， 理由如下：∵是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由如下：如图②，延长交的延长线于点G ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，本题共16分） 1. 如图，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形有一边长为，一边长为，则其周长为（ ） A. B. C. D. 12或9 4. 使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 一个锐角对应相等 B. 两个锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 斜边及一条直角边对应相等 5. 在数轴上表示不等式，正确是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，AD是边BC的垂直平分线，，BD=2，那么AC的长度是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3（ ） A. 70° B. 180° C. 110° D. 80° 8. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 二、填空题：（每小题2分，本题共16分） 9. 用反证法证明“若，则”是真命题，第一步应先假设___________________． 10. 在中，，当__________________时，等腰三角形． 11. 不等式3（2x+1）≤2+2x的最大整数解是_____． 12. 小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则根据题意可列不等式为______． 13. 如图，在中，，平分，，，则点到距离为______． 14. 如图，点D为等边△ABC内部一点，且∠ABD=∠BCD，则∠BDC的度数为_______． 15. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，∠BAE＝∠CDE＝136°，则∠C的度数是___． 16. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论： ①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到； ②连接OO′，则OO′=4； ③∠AOB=150°； ④S四边形AOBO′=6+4． 其中正确的结论是_____________________． 三、计算题：（第17题每小题8分，第18题每小题8分，本题共18分） 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 四、画图题（本题共6分） 19. △ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示． （1）作△ABC 向右平移 2 个单位后的△A1B1C1； （2）作△A1B1C1关于点 O 成中心对称的△A2B2C2； 五、解答题：（第20题、21题各8分，本题共16分） 20. 某工厂要招聘A，B两个工种的工人180人，要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍．那么该工厂招聘A工种工人最多多少人？ 21. 甲、乙两旅行社假期搞组团促销活动，甲：“若领队买一张全票，其余可半价优惠”．乙“包括领队在内，一律按全票价六折优惠”．已知全票价为120元，你认为选择哪家旅行社更优惠？ 六、解答题（第22题每小题8分，第23题10分，本题共18分） 22. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，交AC于点E，连接BE，∠CBE＝2∠ABE，求∠C的度数． 23. 已知：如图，ADBC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等． 七、探究题（本题共10分） 24. （1）如图①，在四边形中， ，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证得到，从而把转化在一个三角形中即可判断之间的等量关系 ； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $