探究高考导数真题，明确思路方法解析-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生数理化解题篇经典题突破方法 )高三数学2025年9月 探究高专导数真题，明确思路方法解析 2025年新高考全国Ⅱ卷数学第18题评析 ■河南省实验中学 丁振楠 高考不仅是高中生学习生活的最终落 18题)已知函数f(x)=ln(1+x)一x十 点，还是对高中生三年中逐步培养起来的各 -kx,其中0<k<3 1 项素养与能力的综合检验。对高考题进行详 细的分析与思考，有助于了解高考试题的考 (1)证明：函数f(x)在(0，十∞)上存在 查特点，从而帮助我们洞察高考数学的命题 唯一的极值点和唯一的零点。 趋势，为高考备考提供方向指引。而导数作 (2)设x1,x2分别为函数f(x)在(0， 为高中数学核心板块之一，在高中数学学习 十∞)上的极值点和零点。 过程中具有重要地位，为培养同学们的综合 ①设函数g(t)=f(x1十t)-f(x1一t), 分析能力与逻辑思维能力提供了载体，属于 证明：函数g(t)在(0，x1)上单调递减。 高考数学中的必考内容。2025年新高考全 ②比较2x1与x2的大小，并证明。 国Ⅱ卷数学第18题作为一道导数解答题，以 分析：第一问聚焦利用导数研究函数的 其独特的命题设计与丰富的考查内涵，成为 单调性与极值点、零点的存在性定理。同学 检验同学们数学综合素养的关键一环。本文 们需先对给出的函数求导，通过分析导数的 将针对2025年新高考全国Ⅱ卷数学第18题 正负来确定函数的单调性，进而证明极值点 的题目特点、试题分析与解题方法等方面的 的唯一性；再结合函数的单调性与端点值的 情况，运用零点存在定理证明零点的存在性 心得感悟与各位读者分享。 与唯一性。第二问的第一小问通过构造函数 一、题目考法及特点 g(t),检验同学们能否灵活运用导数的运算 2025年新高考全国Ⅱ卷数学第18题紧 法则，进一步考查计算能力与对函数单调性 密围绕函数与导数的核心知识，着重考查同 的应用能力。第二小问则可以借助第一小问 学们对函数极值点、零点、单调性等关键概念 的结论，得出2x1与x2的大小关系。 的理解与运用能力。本题延续了高考数学注 解：(1)对函数f(x)求导可得f'(x)= 重基础、强调能力、突出创新的一贯风格，旨 -1+x-3kx2= （十元3)x= 1 在通过对函数导数的综合考查，检验同学们 1+x 的逻辑思维、运算求解等核心素养。试题以 常见的函数形式为载体，通过巧妙设置问题， 1-3k-3kx.x2,x>-1。 1十x 引导同学们运用导数这一强大工具，深人探 令x)=0,得x=欢 -1>0。所以当 究函数的性质与变化规律，充分体现了数学 知识的内在联系。 0<x< 3k -1时，'(x)>0,函数f(x)单调 二、试题分析与解答 1 题目(2025年新高考全国Ⅱ卷数学第 递增：当x>3-1时，f(x)<0,函数f(x) ++中++++++++++++++++++++++++++++ 综上可得，a∈[0,2]。 数的单调性问题，并运用导数加以解决。在运 函数描述的是变量之间的变化关系，这种 用导数处理函数问题时，应充分理解问题的本 关系体现在函数的单调性上，而导数在判断函 质、厘清函数结构。同时应了解相关问题的误 数的单调性上具有优势。函数的单调性、零 区，知道问题存在的易错点，分析错误原因，最 点、恒成立（能成立）等问题最终都是化归为函 终提高解题能力。 (责任编辑王福华) 38 解数学典题资壁方清中学生表理化 单调递减。所以函数f(x)在(0，十∞)上存 递减。 1 上述方法计算量大，运算过程复杂，稍不 在唯一的极大值点x一3友一1。 留神便会出错，可考虑如下方法简化运算。 因为f(6-1>f(0)=0,且x一+ x 方法二：令h(x)=十x 时(x)→-，且当x>头-1时，函数 当x>0时，h'(x)= x2+2x (1+x)2 >0,h(x) f(x)单调递减，所以函数f(x)在 单调递增。 (头-1，十∞)上存在唯一的零点x,也是 因为0<x1一t<x1十t,所以h(x1一t) (0,十∞)上的唯一零点。 h(x1+t), （x1-t)”（x1+t) 1十1一1+1十2：从而 注：同学们还可以考虑∫（ (*)式的运算结果恒负，即g'(t)<0,所以函 数g(t)在(0，x1)上单调递减。 n1+)-无<0，得出函数f(x)在 1 注：第二种方法更易运算，但需要同学们 (头-1，)上存在唯一的零点，也是函数 （x1-t)”-(x1+t)2 能发现岸”与年”都符合千的 f(x)在(0，十∞)上的唯一零点。 形式，故考虑构建函数比较大小。 (2)①由(1)可知，=-1，：=x (2)②2x1>x2。证明如下： 由①可知，函数g(t)在(0，x1)上单调递 1 减，所以g(x1)<g(0),即f(2x1)一f(0)< 3k=1十x f(x1)-f(x1),得f(2x1)<0=f(x2)。 对g(t)求导可得g'(t)=f'(x1十t)十 又因为(x)在(x1,十∞)上单调递减， f'x-)-(=3)小水x+十 所以2x1>x2。 三、命题趋势和考向 (m)-(m2女： 与往年高考导数试题相比，2025年新高 ++(+2中) 考全国Ⅱ卷的这道试题在考查内容与形式上 既有传承又有创新。从传承角度看，依然重 点考查函数与导数的核心知识，如函数的单 (1+x1+t)(1+x1)（x1+t) 调性、极值点与零点等，这体现了高考数学对 1+x1-t)(1+)（x1-t)= 基础知识考查的稳定性。从创新方面而言， 1+x1 试题在问题设置上更加灵活，注重对同学们 T(x1-t)(x十t)27 L1+x1-t1+x1+° () 创新思维与综合能力的考查。例如该题的第 对于()式，直接计算不失为一种方法。 二问通过构造函数g(t)来探究函数的性质， 这种创新性的设问方式要求同学们具备更强 方法一：g (t)= 1+x1 的知识迁移能力与自主探究能力。 T(x1-t)2(x1+t)27 预计未来高考导数试题在考查基础知识 t 1十x1-t1十x1+t] 1十x1 的同时，将进一步加大对同学们创新思维、应 (x1-t)2(1十x1+t)-(x1+t)2(1+x1-t) 用能力与数学文化素养的考查力度。试题的 (1十x1-t)(1十x1+t) 情境设置将更加贴近生活实际与科技前沿， 2t(t2-x1-2x1) 引导同学们运用数学知识解决实际问题，对 =1+x1·1+x1-t)(1+x1+),又0<1 同学们的实际应用能力与思维创新能力提出 <x1,所以t一x一2x1<0,且该式的分母恒 更高的要求。 正，则g'(t)<0,所以g(t)在(0，x1)上单调 (责任编辑王福华) 39