导数应用在解决函数问题中的易错点分析-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生表理化学品异费析 数应用在解决函数问题中的易错点分析 ■江苏省南京市孙家中学王凯 导数是高中数学中的重要概念，在解决 e立(4-e)<0,所以存在x。∈(-2，-1)， 函数单调性、零点、恒成立（或能成立）等问题 使得h(x)=0,则2e"=x。十2。 时都有应用。下面根据导数在这些具体问题 中应用时出现的各种易错点进行分析研究， 令g'(x)>0,得x<x。;令g'(x)<0,得 找到问题解决的正确方法。 x<x<1n之。所以g(x)在(-∞，x)上单 一、导数在单调性问题中的应用 例1已知函数f(x)=(e十a)(x 调递增，在(xn）上单调递诚，则 2a),a∈Z,若f(x)是增函数，求实数a的 g（x)mx=g(xo）= xoe"+1x6+3x0十2 值。 2e"-1 2x0+3 错解：因为f(x)=(e十a)(x一2a),所 (2.x。+3) 1 1 4(2x。十3) 以f'(x)=e(x十1)-a(2e-1)。因为 f(x)是增函数，所以f'(x)≥0恒成立，则 3 因为x,∈(-2，-2）所以当x。 a(2e-1)≤e(x+1)恒成立。 1 gx,)→+∞，则不存在a≥Ex十1 恒成立。 若x=ln2,则a(2e-1)=0,a(2e 2e"-1 综上可得，a的值不存在。 1)≤e(x十1)恒成立，则a∈R。 错因分析：由f'(x)≥0恒成立，得 若x>ln分则a<恒成立。 2e"-1 a(2e-1)≤e(x十1)恒成立，再求参数a的 范围，这里2e一1的符号不确定，不适合参 设g(x)=c+,则g'(x) 2ex-1 变分离，同时分类讨论分离后，所得函数 e(2e-x-2) g(x)-x的形式复杂，当x<1n 1 (2e*-1)2 2e*-1 设h(x)=2e-x-2,则h'(x)=2e 时，a≥ex+恒成立。因为g'(xc)是隐零 2e-1 1>0,所以h(x)在(n,十∞）上单调递 点函数，所以若隐零点x。的范围不能缩小到 增。因为h(0)=0,所以g'(0)=0,则g(x) 足够小，则最大值不能进行估计。 在(n弓0)上单调递减，在(0，十6∞)上单调 正解：因为f(x)=(e十a)(x一2a),所 以f'(x)=e(x-2a十1)十a。因为f(x)是 递增，所以g(x)m=g(0)=1,则a≤1。 增函数，所以f'(x)=e(x-2a+1)十a≥0 若x<1n合，则a≥D恒成立。 1 恒成立。因为f”(x)=e(x-2a十2)，所以 2e*-1 当f"(x)<0时，得x<2a-2;当"(x)>0 设g(x)=C+,则g'(x) 2ex-1 时，得x>2a-2。所以f'(x)在(-∞，2a e(2e-x-2) 2)上单调递减，在(2a一2，十∞)上单调递增， (2e-1) 则f'(x)m=f'(2a-2)=-e2a-2十a≥0. 设h(x)=2e-x一2，则h'(x)=2e 设g(a)=-e“2十a,则g'(a)= 1<0,所以h(x)在(-∞，ln)上单调递 -2e-+1。令g'(a)>0,得a<1-2n2。 减。因为h(一2)= 2e>0,h(-2) 令g(a)0,得a>1-n2.所以ga)在 36 解数孕械题阳*折中学生表理化 (-o,1-分1n2）上单调递增，在 =（x。+1) >0,则g(xo)在(0，+∞)上单调递 (1-21n2,+∞)上单调递减。 增。因为g(1)=0,所以若g(xo)>0,则x。>1。 因为a=xoe",所以可设h(xo)=xoe", 因为g(0)=-e2<0,g(1)=0,g(2)= x0>1。因为h'(xo)=(xo十1)e">0,所以 2-e2<0,所以a=1。 h(xo)在(1，十∞)上单调递增，则h(x)> 二、导数在零点问题中的应用 h(1)=e,即a∈(e,十c∞)。 例2已知函数f(x)=e-aln ax 三、导数在恒成立问题中的应用 (a>0)有两个零点，求实数a的取值范围。 例3已知函数f(x)=cosa.x十ax 错解：因为f(x)=e一aln ax,所以 u)=。-兰，”(x)=e+号>0，则 1,若对任意x∈[0]rx)≥0，求实数 a的取值范围。 f'(x)在(0，十∞)上单调递增。假设存在 错解：因为f(x)=cos ax十ax2一1，所 xo,使得f'(xo)=0,则f(x)mn=f(x)=e 以f'(x)=-asin ax十2ax,f"(x)= 一aln ax。。因为f(x)有两个零点，所以 -a2 cos ax+2a。因为f(0)=f'(0)=0,所 f(x)mim=f(xo)=e-aln axo<0,下面不 以f"(0)=-a2十2a≥0，则0≤a≤2。 知如何转化。 错因分析：由f(x)单调递增，不能直接 错因分析：对任意∈0引fx) 得到∫'(x)存在唯一零点，还要用零点存在 0,在f(0)=f'(0)=0条件下，f"(0)=-a 定理论证。设出隐零点x。,虽然引人新的变 十2a≥0是必要条件，其充分性还需要验证。 量，但可以建立f(x)的极值、参数a、隐零点 正解：因为∫(x)=cos ax十a.x2-1,所 x。三者关系。后面还需要消元消参，若忽视 以f'(x)=-asin ax十2ax,f"(x)= '(x。)=e一a=0,则问题就无法解决了。 -a2cosa.x+2a。因为f(0)=f'(0)=0,所 以f"(0)=-a2十2a≥0，则0≤a≤2。 正解：因为f(x)=e一aln ax,所以 若0≤a≤2，设g(a)=f(x)=cos ax十ax f'(x)=。-2厂(x)=e+是>0，则 -l,则g'(a)=-xsin ax十x2=x(x-sin ax)。 f'(x)在(0，十∞)上单调递增。因为f'(a) 设h(a)=x一sin ax。因为0<x≤牙， =e-1>0,f'(ae")=ee“-e“<0,所以存 在xo∈(ae“,a),使得f'(xo)=0。当x∈ 0≤a≤2，所以0≤ax≤，则h'(a)= (0,x。)时，f'(x)<0;当x∈(xo,十∞)时， 一xcos ax≤0，故h(a)在[0,2]上单调递减， f'(x)>0。所以f(x)在(0，x。)上单调递 则h(a)≤h(0)=0,即g'(a)≤0，则g(a)在 减，在(x。,十∞)上单调递增，则f(x)m= [0,2]上单调递减，则g(a)≥g(2)=cos2x f(xo)=e-aln azo。 +2x2-1。 由于f(x)有两个零点，若f(x)m>0, 则f(x)无零点，不符合题意，所以f(x)m< 设p(x)=cos2x+2x2-1x∈[0，]， '(x)=-2sin 2x+4x,o"(x )=-4sin 2 0。因为f(x)=e-2=0,所以a= +4≥0，所以9(x)在[0，]上单调递增，则 xoe,则f(x)mm=e一roe"In x8e<0,则 10 2In xo+xoxo '(x)≥g'(0)=0,所以p(x)在[0，]上单 调递增，则p(x)≥p(0)=0,则f(x)=g(a) 设8(x)=2nx。+x。二，则g(x) ≥p(x)≥0，符合题意。 37