函数零点问题中的易错点分析-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高三数学2025年9月 函数零点问题中 ■江苏省南京市板 函数零点是函数中的重要概念，其与函 数单调性、极值等概念有密切关联。与零点 相关的函数题型也非常多，下面就几类与零 点相关的函数问题中的易错题进行研究，了 解错解，分析错因，提炼正确解法。 一、零点个数问题 例1已知函数f(x)=(x-a)(x2 b),其中a>0,当x>0时，f(x)≥0，若关于 x的方程f(x)=a有三个不同的实根，求实 数a的取值范围。 错解：因为关于x的方程f(x)=a有三 个不同的实根，所以f(x)一a=0有三个不 同的实根。设g(x)=(x一a)(x2一b)一a, 则g(x)有三个零点。求导得g'(x)=3x2 2ax-b,若a2十3b≤0，则g'(x)≥0，g(x)在 R上单调递增，只有一个交点，不符合题意 若a+3b>0,令g'(x)<0,得a-a+36 3 <.x<a十a+3b 的 ；令g'(x)<0,得x< a-√a'+3b 或x>a+va+3b 。所以 3 3 √a+3b x= a- 3 是极小值点，x= a+va+3b 3 是极大值点。所以 g(a-a+36 <a<g(a+√a+3b) ,不 3 3 等式中参数b未能消去，因此不能求出参数 b的最值范围。 错因分析：双参数问题中求单参数的范 围需先消参。忽略条件“当x>0,∫(x)≥0”， 则不能确定参数b的值，消不去参数b,也就 不能得到参数a的范围。 正解：因为a>0,且当x>0时，f(x)≥ 0,所以当x<a时，x2<b;当x>a时，x2> b;当x=a时，x2=b。所以b=a2,则f(x) =(x一a)(x2一a2)。因为关于x的方程 34 的易错点分析 乔中学纪明亮 f(x)=a有三个不同的零点，所以f(x)一a =0有三个不同的实根。设g(x)=(x一a)· (x2一a2)一a,则g(x)有三个零点。求导得 g'(x)=(3x十a)(x-a),令g'(x)>0,得x <-号，或x>a令g'(x)>0,得-号<x< a。所以g(x)在(-∞，-号)和(a,十∞)上 单调递增，在(-名，a)上单调递诚。因为 g(-a)=-a<0,g(a+1)=1十a>0,所以 (-)-2 -a>0, 解得a>3v6 g(a)=-a<0, 二、零点存在问题 例2已知函数f(x)=e2一2a(x- 2)e一a2x(a>0),证明：函数f(x)恰有两 个零点时，必有一个零点为2。 错解：求导得f'(x)=2(e十a)(e ax)。设g(x)=e一a.x,则g'(x)=e-a。 令g'(x)<0,得x<lna;令g'(x)>0,得x >lna。所以g(x)在(-∞，lna)上单调递 减，在(lna,十o∞)上单调递增，则g(x)mm= g(lna)=a-alna。 因为f(x)存在两个零点，所以'(x)存 在两个零点，则g(x)存在两个零点，故 g(x)mim=a-alna<0,即a>e,所以f(2) =e-4a2,仅由a>e不能得到f(2)=0。 错因分析：没有充分地分析∫(x)与 ∫'(x)的结构，只是求导并由导数存在零点得 到参数a的范围，再把2代人f(x),仅由参 数a的范围，而不知参数a与2的关系是不 能论证f(2)=0。而应由f'(x)得到f(x)的 单调性，并得到∫(x)有一个零点与极值点重 合这一特殊关系。 正解：求导得f'(x)=2(e十a)(e ax)。设g(x)=e一ax,则g'(x)=e一a。 令g'(x)<0,得x<lna;令g'(x)>0,得x> lna。所以g(x)在（一∞，lna)上单调递减， 在(lna,十o∞)上单调递增，则g(x)in= glna)=a-alna。 若g(x)mim=g(lna)=a-alna≥0，则 f'(x)≥0，所以f(x)最多有一个零点，不符 合题意，则g(x)mim=g(lna)=a-alna<0, 即a>e,所以lna>1。 因为g(0)=1>0,g(2a)=e-2a2 0,所以3x1∈(0，lna),x2∈(lna,2a),使得 g(x1)=g(x2）=0。 令f'(x)>0,得x<x1,或x>x2;令 f'(x)<0,得x1<x<x2。所以f(x)在 (一∞，x1)和(x2,十∞)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减。 因为(x)恰有两个零点，所以有一个极 值点是零点，设为x。,则e一ax。=0,即e =axo,所以f(xo)=e2-2a(x0-2)e a2x6=a2x-2a2(x0-2)x-a2x6=0,则 x。=2。故函数f(x)恰有两个零点时，必有 一个零点为2。 三、双零点问题 例3已知函数∫(x)=x alnx(a>e)在(0，十o∞)上有两个零点x1, x2(x1x2)。求证：2ax1十x22alna。 错解：因为函数∫(x)在(0，十c∞)上有两 个不同的零点x1,x2,所以x1一alnx1=0, x2-alnx2=0,则x1十x2=alnx1x2。因为 ）,所以x1十x2=alnx1x2 <aln(任专)，唧十<2aln,+ 一2aln2,则x1+x2-2aln(x1+x2)+ 2aln20。设t=x1十x2,则g(t)=t-2a· lnt+2aln2,即g(t)<0。因为g(t)=t 2alnt十2aln2是隐零点函数，所以不能通过 解不等式g(t)<0来得到t的范围。 错因分析：由f(x)在(0，十∞)上有两个 不同的零点x1,x2,得x1一alnx1=0,x2 alnx2=0,仅仅得到x1十x2=alnx1x2,再 根据基本不等式放缩，这个放缩的尺度不一 定与要证的结论匹配，同时，得到的关于 x1十x2的函数不等式也没有显性解。因此， 还应结合x,一x1=aln,再围绕结论2a< 解氧塑学锁题因装翻折中学生款理化 x1十x2<2alna展开论证。 正解：因为函数f(x)在(0，十∞)上有两 个不同的零点x1,x2,所以x1一alnx1=0, x2一alnx2=0,则x1十x2=alnx1x2,x2一 x1=aln。 TI 先证x1+x2<2alna,需证alnx1x2< 2alna,即证√x1x?<a。 x2一x1 因为nx,-lnx =a,所以只需证 √xx<1nx2-lnx 21一.即证ln一/— 设 ,t>1,即要证21nt-t十 }<0 设g)=21nt-t+}t>1,则g() t-1)<0,故g(t)在(1，十∞)上单调 t2 递减，则g(t)=21nt-t+上<g(1)=0。 t 再证x1十c>2a,设t=,则t>1,tx 一x=an,故=-，所以 x1十x2= a(t十1)lnt,故需证x1十x,>2a, t-1 只要证2“》n>2,即证h1十一2 t-1 >0。 设h()=1n1+,-2,>1,则h' =(t-1)2 t+1)≥0，所以g(t)在(1，十∞)上单调 4 递增，则g(t)=1nt+十-2>g(1)=0。 综上可得，2a<x1十x2<2alna。 总之，与零点有关的问题是函数中的重 要问题，有很多函数问题最终是转化为零点 问题来解决。以上研究了儿类与函数零点有 关的问题，分析了问题的易错点，优化了解题 方法，使同学们在解相关问题时，能避开误 区，找到正确的解法，准确高效地解决函数零 点问题。 (责任编辑王福华) 35