依托导数应用，研究零点策略-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生数理化 解题篇创新題追根溯源 高三数学2025年9月 依托导数应用， ■江苏省泗洪 导数是研究函数的基本性质的一个有力 工具，其核心是借助导函数值的正负取值情 况来确定函数的单调性，进而来研究函数的 相关基本性质。本文结合利用导数应用来研 究函数零点的基本技巧策略，通过数形结合、 函数性质及构造函数等不同策略形式来剖 析，结合实例阐述策略与技巧，抛砖引玉。 一、数形结合思维研究函数零点问题 例1已知函数f(x)=(x一a)2十be (a,b∈R),当a=0时，函数y=f(x)有3个 零点，求实数b的取值范围。 解析：函数y=f(x)有3个零点，即关于 x的方程f(x)=0有3个根，也即关于x的 方程b三二二有3个根。 令函数g:)=一二，则直线y=6与曲 线g(x)=- 。的图像有3个交点。 求导可得g'(x)=x(x-2 ,由g'(x)< e 0,解得0<x<2;由g'(x)>0,解得x<0或 x>2。所以函数g(x)在（一∞，0）上单调递 增，在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单调 递增。 而g(0)=0,g(2)=- 春当>0时， g(x)<0;当x→十∞时，g(x)→0；当x→ 一∞时，g(x)→一∞，作出g(x)的大致图 像，如图1所示，作 出直线y=b。 由图可知，若直 线y=b与g(x)的 图像有3个交点，则 图1 4 <b<0,即实数 b的取值范围为(-冬0)。 28 研究零点策略 中学 王伟 感悟提升：解决此类涉及含参函数的零 点个数，可转化为对应方程解的个数，若能巧 妙地将参数分离出来，用自变量x表示参数 的函数，进而作出该函数的图像，根据图像特 征，并通过参数的取值情况，直观想象，得以 求解对应参数的取值范围（或最值）。 二、利用函数性质研究函数零点问题 例2已知函数f(.x)=(2a十1)x2 2x21nx一4，对任意x>0,都有e>x+1。 (1)求函数f(x)的单调区间。 (2)记命题p:函数f(x)有两个零点；q: a>ln2。求证：p是q的充要条件。 解析：(1)由于函数f(x)=(2a+1)x2 一2x2lnx一4，则其定义域为(0，十∞)，求导 得f'(x)=4x(a-lnx)。所以当0<x<e 时，f'(x)>0,函数f(x)在(0，e“)上单调递 增；当x>e时，f'(x)<0,函数f(x)在(e°， 十∞)上单调递减。 所以函数f(x)的单调递增区间为(0， e“),单调递减区间为(e“,十∞)。 (2)先证充分性：由(1)知，当x=e时， 函数f(x)取得最大值，即f(x)mx=f(e“)= e2a一4。由f(x)有两个零点，得e2a一4>0， 解得a>ln2,所以a>ln2。 再证必要性：由于a>ln2,则有e2“>4, 则有f(e)=e2“一4>0。而a>ln2>0,对 任意x>0,都有e>x十1，所以e2a>2a十1 >2a。所以f(e“)=em(4a+1)-4= 4a+1-4<4a+1-4=1 1 e2a 2a 2a-2<21n2-2= n4-2<0。所以存在x1∈(e,e),使得 1 f(x1)=0。 又因为f(e+1)=一e2u+2一4<0，所以存 在x2∈(e“,e+1),使得f(x2)=0。因为函数 f(x)在(0，e“)上单调递增，在(e“,十∞)上单 调递减，所以对任意x∈(0，十∞)，x≠x1且 x≠x2,易得f(x)≠0。所以当a>ln2时， f(x)有两个零点。 感悟提升：解决此类涉及函数的零点问 题，特别是利用函数性质研究函数的零点时， 主要是根据函数的基本性质来确定函数零点 的个数。此类问题在求解过程中，可以通过 数形结合的方法来确定函数存在零点的条 件，并综合函数的基本性质加以综合与应用。 三、巧妙构造函数研究函数零点问题 例3已知函数f(x)=e一1十ax (a∈R) (1)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范 围； (2)若关于x的方程f(x）-ax十1 e lnx十a有两个不同的实数解，求a的取值 范围。 解析：(1)对函数f(x)求导得f'(x)= ex十a。 若a≥一1，则当x∈[0，+∞)时，f'(x) ≥0恒成立，所以函数f(x)在[0，十∞)上单 调递增。所以当x∈[0，十∞)时，f(x)≥ f(0)=0,符合题意。 若a<-1,令f'(x)<0,解得x< ln(-a),所以函数f(x)在(0，ln(-a)上单 调递减。所以当x∈(0，ln(一a))时，f(x)< f(0)=0,不符合题意。 综上可得，a的取值范围为[一1，十∞)。 (2)由x）一ax+1=1nx十a,整理得 er“=lnx+a。 x-a=In t 令e-“=t,则 两式相加得 (In x+a=t, x+lnx=t+lnt。 易知函数y=x十lnx在(0，十∞)上单 调递增，所以t=x,得a=x一lnx。 原问题可转化为方程a=x一lnx有两 个不同的实数解。 令函数p(x)=x一lnx(x>0),求导得 9'(x)=x1 由9'(x)0,解得0<x<1: 船氧新题湾整器骨中学生款理化 由p'(x)>0,解得x>1。 所以函数9(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增。 所以9(x)mm=p(1)=1,即a≥1。 当a=1时，易知方程1=x一lnx只有 一个实数解x=1,不符合题意。 下证当a>1时，a=x一lnx有两个不 同的实数解。 令函数g(x)=x一1nx一a(a>1),则 g(x)=9(x)一a,易知g(x)在(0,1)上单调 递减，在(1，十∞)上单调递增。 因为g(e")=e“>0,g(1)=1-a<0, 所以g(x)在(e“,1)上有一个零点。 易知g(e)=e一2a,令函数h(a)=e -2a,则当a>1时，求导得h'(a)=e“一2 0,所以函数h(a)在(1，十o∞)上单调递增。 所以当a>1时，h(a)>h(1)=e-2> 0,即g(e“)=e一2a>0,所以函数g(x)在 (1,e“)上有一个零点。 所以当a>1时，a=x一lnx有两个不 同的实数解。 综上可得，a的取值范围为(1，十c∞)。 感悟提升：解决此类涉及含参函数的零 点（或方程的根）问题，关键在于对题设条件 中的关系式、方程等加以恒等变形与转化，有 时还要通过指对互化等方式，进而利用构造 函数来巧妙转化。依托构造函数，利用导数 确定函数的单调区间和极值点，根据函数零 点的个数及其相关的综合应用来合理寻找函 数在给定区间的极值及区间端点的函数值与 0的关系，从而求得参数的取值范围。 其实，依托导数的应用来研究函数的零 点（或方程的根）问题，关键在于深挖题设条 件的内涵与实质，从具体问题场景人手，采取 适当措施与应用策略，利用数形结合、函数性 质及构造函数等不同策略来剖析，紧紧围绕 “三个一”（即“一个定理（函数零点存在性定 理)”，“一种性质（函数的单调性）”，“一类函 数（新函数）”)，合理巧妙综合，化归与转化， 通过函数与导数的综合应用来巧妙解决函数 的零点问题。 (责任编辑王福华) 29