指对同构，巧妙解题-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生表理化学创新降银费源 指对同构，巧妙解题 ■江苏省南京市临江高级中学 马庆芳 在解决指对混合方程、不等式等相关问 (e,十∞)。 题时，如果能找到不等式两边对应的是同一 感悟提升：解决此类涉及和差型e“士a≤ 函数，这无疑能大大加快我们解决问题的速 b士1nb的指对同构应用问题，常见的两种同 度。找到这个函数模型的方法，我们称为同 构途径为：①同左：e“士a≤e士lnb,构造函 构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换。 数f(x)=e"士x;②同右：e”士lne“≤b士 一、和差型 lnb,构造函数f(x)=x士lnx。 解决形如e士x的和差型函数问题时， 二、积型 通过等号或不等号两边的关系式的恒等变形 解决形如xe或xlnx的积型函数问题 与转化，借助指对同构，构造和差型新函数来 时，通过等号或不等号两边的关系式的恒等 分析与应用。 变形与转化，借助指对同构，构造积型新函数 例1(1)设函数f(x)=e-ln(x十 来分析与应用。 a),a∈R。若当x∈（一a,十∞）时，不等式 例2(1)若实数a,B满足ae-3=1, f(x)≥a恒成立，则实数a的最大值为 B(1nB-1)=e,则a3的值为。 (2)设实数m>0,若对任意的x≥e,不 (2)已知函数f(x)=ae+lnx十2 -2 等式x21nx一me≥0恒成立，则m的最大 (a>0)。若不等式f(x)>0恒成立，则实数 值为。 a的取值范围为一。 解析：(1)由ae-3=1,即ae=e3,可知a 解析：(1)由e-ln(x+a)≥a>e十x >0。 而g(Ing-1)=1ng=e,即旦1n2 e ≥ln(x+a)+x+a=er+)+ln(x十a)。同 构函数g(x)=e十x,显然g(x)在R上单 =c心，亦即(m总)·e=c,可知1n且>0。 调递增。则由g(x)≥g(ln(x十a)→x≥ ln(.x十a)→x十a≤e→a≤(e-x)min=l, 同构函数f(x)=x心(x>0),则f(如是） 当且仅当x=0时等号成立。经检验，a的最 f(a)=e3。由'(x)=(x十1)e>0恒成 大值为1，满足题意。故填1。 立，知函数f(.x)在(0，十∞)上单调递增。所 (2)由题意知，函数f(x)的定义域是 (一2，十∞)。由不等式f(x)>0恒成立，得 以ln且=a,即g=e+l,可得aB=a·e1= e ae*+In a>In(x+2)+2,e*+I+In a> e。故填e。 ln(.x十2)十2，两边加上x可得e+m“十x+ (2)依题意知，不等式xlnx一me≥0 In a>x+2+1n(x+2)=emc+2+In(x+2). 因为y=e十x单调递增，所以x十lna> 恒成立今x'1nx≥me→xlnx≥严e ln(x十2)，即lna>ln(x十2)一x。同构函数 e1n(e)。由m>0,x≥e,知e>1。同构 g(x)=ln(x+2)-x(x>-2),则g'(x)= 21=含.所以当(-2，- 函数f(x)=xlnx(x>1),则f'(x)=lnx 1 十1>0，所以函数f(x)在(1，十∞)上单调递 时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈（一1， 增。则由f(x)≥f(e)→x≥e是，即1nx≥ +∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减。故lna >g(x)mx=g(一1)=1，所以a>e。故填 ”,所以不等式m≤xlnx恒成立，所以m≤ 26 解数型新题碧捏香滑中学生表理化 (xlnx)mim=e。故填eo (2)由h(x)>0,可得g(x)-f(x)>0, 感悟提升：解决此类涉及积型的指对同 则有ae In x<x2十xlna。所以ln工<工 构应用问题，特别是指对混合不等式时，我们 ae 可以将不等式变形为[g(x)]>f[h(x)] +lna=ln(ac),即n(ae2ln工对任意的 ae ae x 的结构，(x)即为外层函数，其函数的单调 ae 性易于研究。常见变形方式为：xe=e+mx, x∈(0,1)恒成立。同构函数H(x)=1n工 =c'-,=,x+In =In(xe'), x e “则(x)=”二。当xe(0,e)时， e x-In x=In H'(x)>0,H(x)单调递增：当x∈(e,十∞) 时，H'(x)<0,H(x)单调递减。易知当x∈ 三、商型 (1,十o∞)时，H(x)>0；当x∈(0,1)时， 解决形如产的商型函数问题时，通过 H(x)<0。若ae≥1>x,则H(ae)≥ 等号或不等号两边的关系式的恒等变形与转 H(1)=0>H(x);若0ae<1,由H(ae) >H(x),且H(x)在(0,1)上单调递增，可得 化，借助指对同构，构造商型新函数来分析与 ae>x。综上可知，ae>x对任意的x∈ 应用。 例3 (1)已知函数f(.x)=ln工 (0,1)恒成立，即a>乙对任意的x∈(0,1)恒 e x g(x)=xe,若存在x1∈(0，十o∞)，x2∈R, 成立。设G(x)=二，x∈(0,1)，则G(x)= 使得f(x1)=g(x?)=k(k<0)成立，则 (任)广·。的最大值为一 1一工，所以G(x)在(0,1)上单调递增，则 G(x)<G1)=1。所以a≥1，即实数a的 (2)已知函数f(x)=ae'In x,g(x)= x2十xlna,a>0。设函数h(x)=g(x)一 取值范围为 [日，+∞).故填[是，+oo) f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成 立，则实数a的取值范围是。 感悟提升：解决此类涉及商型4≤山上 b 解析：(1)由函数f(x)=n工，求导可得 的指对同构应用问题，常见的三种同构途径 x f'(x)=1-1n工，易判断函数f(x)在(0，e) 为：①同左是<出，构造函数f)-名： 上单调递增，在(e,十○)上单调递减。而 @同有：1<，构造函数)b三。 b fx1)=g(x)=k<0成立，则有lnx1= ③取对数：lna一a≤ln(lnb)一lnb,构造函 e 数f(x)=lnx-x。 =In e" =k0,从而0x11,0e51， 其实，基于指对同构的不同类型与应用， e 涉及和差型、积型与商型等常见问题，其实质 所以x1=e。 所以)广e=() 通过等价变形使得两边的式子结构相同，从 =ke,k<0。同构函数h(x)=xe,x<0, 而将两边看成是同一个函数的两个函数值， 则h'(x)=(x2十2x)e,易知h(x)在（一∞， 借助该函数的单调性简化不等式，使问题得 一2)上单调递增，在（一2,0）上单调递减。所 以解决。同构思想与方法在高考中有非常强 烈的体现，不管是小题还是大题，都处在压轴 以Ax)≤(-2)=专，即（货》 ·e的最大 题的位置，备受命题者的青睐，它能够很好地 值为手。故填子 4 考查同学们的数学建模、数学抽象、数学运算 等数学核心素养。 (责任编辑王福华) 27