依托单调性，妙解函数题-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2025年9月 依托单调性，北妙解函数题 ■河北省邢台市南和区第一中学 李娟 函数的单调性在数学的很多章节中都有 小。 非常广泛的应用。其实，很多看似复杂或是 二、解不等式问题 无法下手问题，通过对题设条件的认真分析 依托函数的单调性，结合函数值之间的 与问题内涵的巧妙挖掘，可以发现原来就是 不等式，转化为关于自变量之间的不等式，从 函数单调性的综合应用问题，借助函数的单 而实现不等式的求解与应用。 调性就可以获得巧妙或简单的解法。 例2已知函数y=f(x)的定义域为 一、比较大小问题 R,对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,总有 依托函数的单调性，结合自变量的大小 关系或函数值的大小关系，合理进行巧妙转 f(x)-fx2>0,则f(x+1)>f(2x)的 x1-x2 化，从而解决比较大小问题。 解集是一。 例1已知函数∫(x)对任意实数x 解析：依题意，不妨设x1>x2,结合 都有f(2一x)=f(2十x),并且对任意x1< f(x)一f(x0,可得f(x1)-f(x)>0, x2<2,总有f(x1)<f(x2),则下列不等式 x1一x2 正确的是()。 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)是定义在 A.f(1.2)>f(1.5) R上的增函数。 B.f(1.5)>f(3) 由f(x+1)>f(2x),可知x+1>2x, C.f(1.5)<f(3) 解得x<1,即f(x十1)>f(2x)的解集为 D.f(3)<f(4) (-∞，1)。 故填（一∞，1）。 解析：因为对任意x1<x2<2,总有f(x1) <f(x2),所以f(x)在（一∞，2）上单调递增， 点评：利用函数的单调性解不等式的具 所以f(1.2)<f(1.5),故选项A错误； 体步骤为：①将函数不等式转化为∫(x1)> 对于f(2一x)=f(2十x),分别令x= f(x2)的形式；②确定函数f(x)的单调性； ③根据函数∫(x)的单调性去掉对应关系 1,2,可得f(1)=f(3),f(0)=f(4),又 f(1.5)>(1),所以f(1.5)>f(3),故选项 “f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不 B正确，选项C错误； 等式，进而加以分析、转化与求解。在求解过 又因为f(1)>f(0),所以f(3)>(4), 程中，要注意变量的限制条件，即考虑使解析 故选项D错误。」 式有意义的未知数的取值范围。 故选B。 三、参数确定问题 点评：利用单调性可以比较函数值的大 依托函数的单调性，利用函数图像的变 小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数 化情况或自变量取值的限制，巧妙构建含有 中自变量小函数值反而大；在利用函数的单 参数的关系式或不等式，从而实现参数值的 调性比较大小时应注意将自变量放在同一单 求解或参数取值范围（或最值）的确定。 调区间内加以分析与判断。特别地，在利用 例3若f(x)=x2十2(a-1)x+2 函数的单调性比较函数值的大小时，若自变 (其中a∈R)在（一∞，4]上单调递减，则a的 量的值不在同一个单调区间内，则要利用函 取值范围为一。 数的性质，将自变量的值转化到同一个单调 解析：依题意得，f(x)=x2十2(a一1)x 区间内进行比较，或采用中间量法来比较大 十2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,则此二次 24 解数型新题碧捏香滑中学生表理化 函数的对称轴为x=1一a,所以f(x)的单调 值或取值范围等相关的综合应用问题，一直 递减区间为（一∞，1一a]。 是各类考试考查的一个重要方面，有时是限 而f(x)在（一∞，4]上是减函数，可得对 制给定区间来应用，有时是不限制范围来综 称轴x=1一a必须在直线x=4的右侧或与 合。碰到具体问题时，要通过题设条件，合理 其重合，所以1一a≥4，解得a≤一3，即实数 联系与之相关的基础知识，结合函数的奇偶 a的取值范围为（一∞，一3]。 性等其他性质加以综合，从而实现与函数相 故填（一∞，一3]。 关的最值或取值范围问题的解决。 ,点评：利用函数的单调性求解参数值或 五、代数式求解问题 取值范围时的基本思路为：①根据函数的单 依托函数的单调性，合理构造函数，借助 调性直接构建参数满足的方程式（组）（不等 函数在给定区间上单调时，通过自变量与函 式（组）)或先得到函数图像的升降，再结合图 数值一一对应来合理构建关系式，从而实现 像求解；②对于分段函数，要注意各段函数的 代数式的求解与突破。 单调性及衔接，点的取值。特别地，已知函数 例5已知实数x,y满足(x十 的单调性求参数的取值范围问题，要注意数 形结合思想，采用逆向思维。 √Jx+1)(y十√y+1)=1,则x+y=一 四、最值应用问题 解析：由已知条件可得x十√x+1 1 依托函数的单调性，结合函数在给定区 =-y+√y+1=(-y)+ 间内的单调性情况，以及函数的图像与性质 y+√y+1 来确定对应函数的最大值或最小值，从而实 √(-y)+1。 现最值应用问题的突破。 构造函数f(t)=t十√t十1，任取t1, 例4在定义域为R的函数f(x)中， t2∈（一o∞，十o∞），且t1<t2,则f(t2)-f(t1) 若对任意实数x,y,都有关系式f(x十y)= =(t2十Wt+1)-(t1十√t+1)=(t2-t1) f(x)+f(y)恒成立，且当x<0时，不等式 +(t+I-√ei+1)。 f(x)<0恒成立。若f(1)=3,则函数f(x) 而t2>t1,可知t2-t1>0,t号十1>t号+1， 在[一4,2]上的最大值为；最小值为一。 即√t十1>√t十1，亦即(t2一t1)十（√t+1 解析：令x=y=0,可得f(0)=0; 令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x) -√t1十1)>0，所以f(t2)-f(t1)>0,即 =0,即f(一x)=一f(x),结合函数奇偶性 f(t)=t十√十1是R上的增函数。 的定义可知函数f(x)为奇函数。 因为f(x)=f(一y),所以x=一y,即 下面讨论函数f(x)的单调性：对任意实 x十y=0。 数x1<x2,即x1一x<0,结合题设条件可得 故填0。 不等式∫(x1一x,)<0恒成立，结合恒等式 点评：在求解某些特殊代数式的值时，若 有f(x1一x2)=f(x1)十f(-x2)=f(x1) 能根据问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘 f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),结合函数单 隐含因素，合理构造函数，利用函数单调性的 调性的定义可知函数f(x)在R上为增函 判断，结合单调性来建立相应的关系式，进而 数。所以函数f(x)在区间[一4,2]上也为增 求解代数式的值。这里关键是用运动、变化、 函数，其最大值为f(2),最小值为f(一4)。 相互联系的函数观，点来分析、处理变量之间 由f(1)=3,可得f(2)=f(1)+f(1) 的联系，利用函数的单调性解决问题。 3十3=6，则有f(-4)=-f(4)=一[f(2) 总之，函数单调性的综合应用在很多场 +f(2)]=-12。 合都有所涉及，随着后继知识的不断展开与 故填6；一12。 拓展，利用函数的单调性可以解决更多的数 ,点评：在函数知识摸块中，涉及函数的最 学问题。 (责任编辑王福华) 25