例析函数模型的巧妙应用-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2025年9月 例析函数模型的巧妙应用 ■山东省嘉祥县第一中学 苗怀宽 函数是用来描述客观世界变化规律的一 3≤3，当且仅当t=2,即x=16时等号成立。 个最常见、最基本的数学模型。除了简单的 所以投资稳健型产品16万元、风险型产 一次函数、二次函数、反比例函数，经常还涉 品4万元时能使投资获得最大收益；相应的 及幂函数、指数函数、对数函数等函数模型， 最大收益是3万元。 合理挖掘实际问题内涵，巧妙建立恰当的函 点评：解决涉及幂函数模型的应用问题 数模型来分析与求解，从而实现实际问题的 的基本策略为：①给出含参数的函数关系式， 数学建模与巧妙应用。 利用待定系数法求出参数，明确函数关系式； 一、幂函数模型的应用 ②根据题意，直接列出相应的函数关系式。 例1(2023一2024学年山东省济南 二、指数函数模型的应用 三中高一（上）月考数学试卷(12月份))根据 例2(2024一2025学年甘肃省兰州 大数据分析与长期收益率市场预测，基于家 五十一中高一（上）期末数学试卷)神经网络 庭方面的理财投资，近似地得出一个数学模 是基于人工智能的深度学习的一个基本出发 型，稳健型产品投资、风险型产品投资的收益 点。其中，指数衰减的学习率模型为L= 分别与投资额成正比、投资额的算术平方根 L。D忘，对应参数LL。、D、G、G。分别表示 成正比。结合大数据分析，已知投资1万元 每一轮优化时使用的学习率、初始学习率、衰 时，稳健型产品投资、风险型产品投资两类产 减系数、训练迭代轮数及衰减速度。某个学 品的收益分别为0.125万元、0.5万元。 习率模型中，初始学习率为0.5，衰减速度为 (1)分别写出两类产品的收益与投资额 18,且当训练迭代轮数为18时，学习率为 x的函数关系式。 0.4,则当学习率衰减到0.2以下（不含0.2） (2)假设该家庭有20万元资金用于理财 时，所需的训练迭代轮数至少为()。 投资，试问：如何合理分配资金能使投资获得 (参考数据：1g0.4=21g2一1,1g2≈ 最大收益？相应的最大收益是多少万元？ 0.3) 解析：(1)由题意知，稳健型产品投资的 A.72 B.73C.74D.75 1 函数关系式为f(x)=8x(x≥0)： 解析：依题意知，指数函数模型为L= 风险型产品投资的函数关系式为g(x) L,D,所以L=0.5xD品 =2G(x≥0) 结合题中数据信息可得0.4=0.5× 4 (2)设投资稳健型产品与风险型产品分 D兰，解得D=。 别为x万元，(20一x)万元。 结合(1)的结论可知获得的收益为y= 所以L=0.5×( ) f(x)+g(20-x)=是 8x十②o工(09 由L=0.5× )<0.2,可得G>18× x20)。 令参数t=√20一x(0≤t≤2√5)，整理 10g5 18× 1g21g5-18×31g2-1 21g2-1≈ 21g2-1g5 得x=20-t2。 2×0.3-1 18× 0g+=-日-2)+ 20-t2 3×0.3-1 =72 所以y= 所以当学习率衰减到0.2以下时，所需 22 解数型新题碧捏香滑中学生表理化 的训练迭代轮数至少为72次。 1og0.5(x-1)+3。 故选A。 综上可得，函数f(x)= ,点评：指数函数模型问题的求解策略为： x2-4x+5,0≤x<3; ①函数y=N(1十p)(其中N是基础数，p log.5(x-1)+3,3≤x≤9。 为增长率，x为时间)是现实生活中增减性问 (2)由(1)可知，h(x)=2f)-3= 题最为常见的一个指数函数模型。借助函数 2,-1)+8-3=1 模型的构建，依托对数运算等来巧妙转化与 x-73≤x≤9。 应用。②函数y=c·ar(a,c,k为常数)是 所以F(x)=(x-1)2-8(x一1)+ 一个应用广泛的指数函数模型，其在电学、生 1 8 (x-1)--1+32=(x-1)2+ 1 物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应 (.x-1)9 用，解决这类给出指数函，数模型的应用题的 8(x-1D-8+32(3≤x≤9). 8 基本方法是待定系数法，即根据题意确定相 关的系数。 设t=x-1(2≤t≤8)，则y=t+ 三、对数函数模型的应用 例3(2023一2024学年广东省汕头 8t- +32=(+)）-8+)+30. 市澄海区高一（上）期末数学试卷)如图1，某 设u=t+}(2≤≤8)，因为u=4+} 度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛 道，赛道的前一部分为曲线ABM,当x∈[0， 在∈[2,8上单调遥增，所以w∈[层智]， 3)时，该曲线为二次函数图像的一部分，其中 则y=u2一8u十30=(u一4)2十14，所以当 顶点为B(2,1),且过点M(3,2);赛道的后 部分为曲线MN,当x∈[3,9]时，该曲线为 u=4,即x=3十√3时，ym=14,故F(x)有 函数y=log.(x-1)十b(a>0,且a≠1)图像 最小值14。 的一部分，其中点N(9,0)。 ,点评：对数函数模型问题的基本类型和 YA 求解策略为：①基本类型：有关对数函数的应 用题一般都会给出函数的解析式，然后根据 实际问题求解。②求解策略：首先根据实际 情况求出函数解析式中的参数，或给出具体 情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然 -10123456789 后根据数值回答其实际意义。 图1 函数模型本身就来源于现实，并用于 (1)求函数关系式y=f(x); 解决实际问题。同时，可以给我们提供更 (2)已知函数h(x)=2fx-3(3≤x≤9)， 多的机会从实际问题中发现或建立数学模 求函数F(x)=(x一1)2-8(x-1)十h?(x) 型，并体会数学在实际问题中的应用价值。 一8h(x)十32的最小值。 也为后继其他知识的实际应用提供分析、 解析：(1)由题意可知，当x∈[0,3)时， 解决的思路和方法。同时，基于函数模型 可设∫(x)=m(x一2)2十1，因为曲线过点 的构建与应用，联系数学学科与现实生活 M(3,2),所以m十1=2，解得m=1,所以函 中的其他学科之间的交汇与联系，充分建 数f(x)=(x-2)2+1=x24x+5; 立函数成为描述客观世界变化规律与综合 当x∈[3,9]时，把点M(3,2),N(9,0) 应用的基本数学模型之一，并深人利用函 分别代入函数y=1og。(x一1)+b中，可得 数思想方法来分析与解决实际生活中的一 1og。2+b=2 1 2解得口=乞‘所以函数y 些简单应用问题等。 1og。8+b=0 (责任编辑王福华) b=3, 23