探秘幂函数单调性的应用-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

舒微型新澳轻膏中学生表理化 探秘幂函数单调性的应用 ■河南省淮滨县第二高级中学 刘青强 作为基本初等函数中的一种基本类型， 点，从而求解对应的最值。 幂函数y=x“是较常考查的一类函数。特别 涉及幂函数的单调性及其综合应用，是其中 在区 解：依题意可知，函数y=x3= 最为重要的一类基本应用类型，对于提高同 间（一∞，0）上单调递减。所以当x=一2时， 学们分析问题和解决问题的能力，夯实数学 ymim=（-2)3=一1 8 基础，优化思维品质，以及培养数学核心素养 等方面都是非常有益处的。 故填-日 一、最值或取值范围问题 点评：正确判断幂函数的单调性，是解决 在解决一些幂函数在给定区间上的最值 幂函数在给定区间上的最值或取值范围问题 或取值范围问题时，往往要回归幂函数的概 的关键所在。在具体解题与应用过程中，经 念与基本性质，正确判断幂函数在给定区间 常借助幂函数的图像加以数形结合，直观形 上的单调性，利用函数的取值情况加以确定 象来确定对应的最值或取值范围。 相应的最值或取值范围。 二、参数值问题 例1函数y=x在区间[-4，-2] 在解决一些涉及幂函数中的参数值求解 上的最小值是 问题时，关键是抓住幂函数的概念与基本性 分析：根据题设场景中幂函数y=x3的 质，特别是其相应的单调性，进而确定系数 基本性质，确定其在区间（一∞，0）上的单调 幂指数等所满足的关系式（方程或不等式 性，结合题中给出的区间来确定相应的最值 等)，进而结合题设条件来确定对应的参数 2.逆向验证 算规则)时，分情况逐一分析。 从结论出发，反向寻找满足新定义的条 2.类比迁移 件，适用于探索性问题或存在性证明。 将新定义与已学知识类比，借用熟悉的 (三)技巧策略：特殊值法与数形结合法 数学模型或方法解决问题。 1.特殊值法 (五)策略总结与实战应用 通过代人特殊元素（如极值、边界值、简 面对新定义题，进行步骤拆解：先标注定 单数值)简化问题，快速排除错误选项或发现 义中的关键条件（如元素个数、运算规则、约 规律。 束关系)，避免遗漏；再进行工具匹配，根据问 2.数形结合法 题特征选择方法一代数问题用特殊值法， 将集合问题转化为几何图形分析，适用 几何问题用数形结合法，存在性问题用逆向 于涉及点集、区域的新定义问题。 构造法等。 (四)复杂问题应对：分类讨论与类比 通过针对性训川练，同学们可逐步形成 迁移 “理解定义→转化模型→选择策略→验证结 1.分类讨论 论”的解题闭环，提升应对创新题型的灵活 当新定义涉及多种情形（如元素个数、运 性与准确性。 (责任编辑王福华) 19 中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2025年9月 值。 十∞)上的增函数，又2.3<2.4，所以2.3< 例2已知幂函数f（x)=xm-m- (m∈Z)的图像关于y轴对称，并且f(x)在 2.47 第一象限内是单调递减函数，则m=一。 (2)由于幂函数y=x为区间(0，十∞) 分析：根据题设中的幂函数的图像特征， 分别从图像关于y轴对称、在第一象限内是 上的减函数，又√2<，所以(2)立> 单调递减函数这两个方面进行分类讨论，确 (5) 定代数式的取值情况及不等式的构建，综合 两者的公共部分来确定对应的参数值。 (3)由于幂函数y=xF为实数集R上的 解：依题意可知，幂函数f(x)=xm-2m- 偶函数，所以（一0.31）下=0.31。 (∈Z)的图像关于y轴对称，所以函数 又幂函数y=x为区间[0，十∞)上的增 f(x)是偶函数，即m2一2m一3为偶数，亦即 m2一2m为奇数。又因为f(x)在第一象限 函数，而0.31<0.35，所以0.31<0.35， 内是单调递减函数，所以m2一2m一3<0，解 即(-0.31)<0.35。 得一1<m<3。而m∈Z,只有m=1同时满 ,点评：利用幂函数的单调性进行比较 足以上两个条件。 故填1。 幂值大小时，常见的一些技巧方法为：①直 点评：涉及含参的幂函数及其综合应用 接法：若幂式的指数相同，则利用对应的幂 问题中，参数值的确定往往是解决问题的一 函，数的单调性来比较大小；②转化法：若幂 个关键步骤，也是一些基本题的设置方向。 式的指数不同，则可以借助中介值法或估 对于参数值的确定，往往离不开幂函数的概 值法等来化归与转化。如先将幂式与0比 念与单调性等，联合构建对应的关系式（方程 较大小，若都大于0，再将幂式与1比较， 或不等式等)，进而实现对应参数值的求解与 直到比较出所有数值的大小即可；若借用 确定。 中介值法无法比较大小时，还可以采用估 三、大小比较问题 值法，判断出各相应数值的取值范围，进而 在解决一些幂式的大小比较问题时，若 比较出各数值的大小。 幂式的指数相同，则通过直接法利用幂函数 四、解不等式问题 的单调性来分析与判断；若幂式的指数不相 求解一些不等式两边的指数幂相同的不 同，则通过转化法利用函数的单调性、函数的 等式问题时，经常借助对应的幂函数加以转 取值情况进行中介值转化或估算分析等。 化，利用幂函数的单调性加以合理变形，巧妙 例3比较下列各题中两个值的大小： 建立相应的不等式（组），通过分类讨论来实 现不等式的求解。 (1)2.37,2.47: 例4已知实数a满足不等式(a十 (2(2),5)号， 1)<(3a一2)了，则实数a的取值范围为 3)(-0.31),0.35 分析：根据题设条件，抓住各组代数式中 分析：根据题设条件中的不等式两边的 两个数的结构形式，依据指数相同的基本特 指数幂相同，由此联想到对应的幂函数，结合 点，合理构建相应的幂函数，并结合幂函数的 幂函数的定义域及对应区间上的单调性，合 基本性质，特别是单调性，有效解决对应代数 理进行分类讨论与化归转化，从而实现不等 式的大小比较问题。 式的分析与求解。 解：(1)由于幂函数y=x1为区间[0， 解：由于幂函数y=x的定义域为 20 解数新题碧捏香滑中学生表理化 (-∞，0)U(0,十∞)，且在(-∞，0)与(0， 来分析与应用。 十∞)上均为减函数，从而进行分类讨论，可 解：(1)因为幂函数f(x)=(m2-4m十 得a+1>3a-2>0,或0>a十1>3a-2,或 4)·x2m-1在区间（一∞，0）上单调递减，所以 2 7m2-4m+4=1, a+1<0<3a-2,解得a<-1或3<a< 解得m=3,故f(x)=x2。 2m-4>0, 3 。所以实数a的取值范围为（一∞，一1）U (2)由(1)知函数f(x)=x2,其图像关于 y轴对称，且在区间[0，十∞)上单调递增。 (层) 因为f(1一2x)<f(x+2),所以|1一2x 故填(-，-1U(层，）： <|x十2|，两边平方得4x2一4x十1<x2十 点评：利用幂函数的单调性解不等式问 4x+4,化简得3x2-8x一3<0，解得一 3 题时，其实质是根据已知两个函数值的大小， x3。 进而来判断对应自变量的大小。借助幂函数 所以x的取值范围是（一子，3）。 的单调性求解不等式问题的基本步骤如下： ①依题确定可以利用的幂函数；②借助相应 (3)依题意，对任意的x∈[1,2]，存在 的幂函数及其对应的单调性，结合不等式的 a∈[1,2]，使得f(x)≤at2-t十a十1成立， 大小关系，通过恒等变形并转化为自变量的 则f(x)mm≤at2-t十a十1，其中x∈[1,2]。 由(1)知函数f(x)=x2,其在x∈[1,2] 大小关系；③通过解不等式（组）确定对应参 数的范围，特别注意分类讨论思想的应用。 上的最大值为4，所以at”一t十a十1≥4。 五、综合应用问题 因为存在a∈[1,2]，使得at-t十a+1 ≥4成立，所以(at2-t十a-3)mx≥0。 求解一些涉及含参的幂函数及其综合应 用问题时，经常是综合融人幂函数的概念、幂 又因为t2+1>0,所以y=a(t+1) 函数的基本性质（特别是单调性）、幂函数的 t一3是关于a的单调递增函数，所以(at 图像，以及函数中的其他一些基础知识来综 t十a-3)mm=2(t2十1)-t-3≥0，化简得2t2 合与应用。 -1-1≥0，解得1≤-或≥1. 例5已知幂函数f(x)=(m2-4m十 所以实数t的取值范围为 4)·x2m-1在区间（一∞，0）上单调递减。 (1)求幂函数f(x)的解析式： (-0,-]u1,+o) (2)若f(1一2x)<f(x+2),求x的取 点评：在解决涉及含参的幂函数及其综 值范围； 合应用问题时，巧妙融合了幂函数的概念、图 (3)若对任意的x∈[1,2]，存在a∈[1， 像与基本性质等，同时又回归函数的基本概 2],使得f(x)≤at一t十a+1成立，求实数 念与基本性质，或数形结合，借助函数图像直 t的取值范围。 观想象与逻辑推理；或数学运算，借助函，数基 分析：(1)直接根据幂函数的概念与单调 本性质进行逻辑推理与运算等。 性，列出相应的关系式，通过求解方程与不等 在解决此类幂函数问题时，依托题设条 式（组）来确定参数的值，进而得以确定幂函 件，定义先行，借助概念正确确定对应的幂函 数的解析式；(2)结合幂函数的解析式，利用 数，并结合相应幂函数的定义域、单调性及图 函数的奇偶性、单调性，正确转化为对应的不 像特征等基本性质来分析与求解。同时，在 等式，通过解绝对值不等式、一元二次不等式 借助幂函数的单调性解题与应用时，既要重 等来实现不等式的求解：(3)通过不等式恒成 视幂函数的图像这一“形”的作用，也要关注 立的等价转化与应用，合理确定对应的不等 幂函数这一“数”的魅力。 式，巧妙变换主元，借助一次函数的基本性质 (责任编辑王福华) 21