浅析构造函数法在导数中的应用-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

、浅析构造函数法 ■湖南省郴州市 在高中数学导数学习中，复杂等式与不 等式问题常融合指数、对数、幂函数等多重形 式，仅靠常规求导分析函数的单调性、极值， 往往陷人“形式繁杂，关系隐蔽”的困境。此 时，构造函数法凭借“重塑关系、转化结构”的 思维优势，成为突破这类难题的核心策略。 构造函数法通过创造性构建辅助函数，将隐 晦的代数关系转化为可借助导数分析的直观 模型。近年来，构造函数法在高考与模拟考 试中高频出现，成为导数板块的核心考向。 本文聚焦高考考向，以典型例题为载体，系统 解析构造函数法的应用逻辑、变形技巧与解 题路径，为突破导数问题搭建思维框架。 一、构造具体函数 例1设a=是语6=号 7 4 sim严，则a,b,e的大小关系为( ）。 A.abc B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b 解析：由条件可知，a= 7π9 元cos18 π f(x)=sin,x∈(0，x),则f'(x） rcos x一sinC。令h(x)=xcos-sinx,x ∈(0，π)，则h'(x)=一xsin x<0。易知 h(x)在(0，π)上单调递减，所以h(x)h(0) =0,即f'(x)<0,所以f(x)在(0，π)上单调 递减。因为吾<<”，所以f(晋）> f(侵)>f(）,即是n吾>是im受> 名n钙，所以a>b>c。放选A。 评注：本题考查三角恒等变换、函数的单 加效学意青鏨指肉中学生教理化 在异数中的应用* 二中学李晓彪 调性。解决本题的关键是利用诱导公式将 a,6c分别化为是n否，是sm受in 构造具体函数f(x)=sim工，x∈(0，)，最后 x 利用导数判断函数∫(x)的单调性即可。 二、构造抽象函数 考向1.利用f(x)与x构造 例2设f(x)是定义域为(-∞，0)U (0,十∞)的偶函数，f(一2)=0，当x>0时， xf'(x)一f(x)>0,则使得f(x)>0成立的 x的取值范围是()。 A.(-∞，-2)U(2,+∞) B.(-2,0)U(2,+∞) C.(-∞，-2)U(-2,0) D.(0,2)U(2,+∞) 解析：令h()=f2,则A（x) xf'(x)一fx》。因为当x>0时xf'(x) x f(x)>0,此时h'(x)>0,所以h(x)在(0， 十∞)上单调递增。因为f(x)为偶函数，所 以h(-x)=f二x）=-fx)=-h(x),即 h(x)为奇函数，所以h(x)在（一∞，0）上也单调 递增。易知f(2)=f(-2)=0,h(2)=C22 2 0,h(-2)=-h(2)=0。所以f(x)>0等价于 {x0, x0, 或 即 h(x)>0=h(2), h(x)<0=h(-2), x0, <0，。所以x<-2或x>2,所 或 x>2, x<-2, 以f(x)>0的解集为（一∞，一2）U(2, 十∞)。故选A。 评注：本题聚焦导数运算、函数性质（奇 偶性或单调性)、不等式求解等知识点，核心 方法为构造辅助函数：针对xf'(x)一nf(x) 的结构，构造商函数h(x)=一，借助导数 判断单调性，结合奇偶性解不等式。对应高 13 中学生表理化架学多幸新的 考导数综合应用考，点，凸显“结构建模→性质 迁移”的思维逻辑，是考查数学抽象与逻辑推 理的经典题型。 考向2.利用f(x)与e(或e“)构造 例3已知定义在R上的函数f(x) 的导函数为f'(x),f(1)=e,且对任意的x 满足f'(x)一f(x)>e,则不等式f(x)< xe的解集是()。 A.(-∞，1) B.(—∞，0) C.(0,十∞) D.(1,+o∞) 解析：令h(x)=f《-x,则'(x) e f'(x)-fx)-1。因为f'(x)-f(x)> c,所以f')-f）-1>0,即h()>0, e 则h(x)在R上单调递增。因为f(1)=e,所 以h(1)=0。由f(x)<xe可得fx）-x< e 0,即h(x)<h(1),解得x<1,所以不等式 f(x)<xe的解集是（一∞，1）。故选A。 评注：本题聚焦导数运算（商或积求导）、 函数的单调性、不等式求解等知识，点，核心方 法为结构匹配构造函数：针对'(x)一 nf()的结构，构造商函数h(x)三，借 助导数判断单调性，结合已知条件转化不等 式。对应高考导数综合考点，侧重考查数学 抽象（构造思维）、逻辑推理（单调性迁移）等 能力，同学们要熟练导数的运算，深入理解函 数的性质。 考向3.利用f(x)与sinx,cosx构造 例4已知f'(x)是函数f(x)的导函 数，满足f(x)十f(一x)=0,且对任意的 x∈(o,),有f'(x)cosx-f(x)sinx>0, 则下列不等式一定成立的是( )。 A.f(-年)<Ef(-1)cos1 B.f(-)>f(-) cr(-)<f(-2)os 14 D.Ef(-)<f(-) 解析：令h(x)=f(x)cosx,x∈ (0,5),则h'(x)=f'(x)cosx-f(x)· sinx。又对任意的x∈(0，)有f'(x)· cosx-f(x)sinx>0,则h'(x)>0,所以 h(x)在(0，)上单调递增。因为f(x)十 f(-x)=0,所以h(-x)=f(-x)cos(-x) =一f(x)cosx=一h(x),则h(x)是奇函 数，所以h(x)在(-乏，0)上也单调递增。对 于A选项，由h()>A(-1),可得 f(-开)os(-)>f(-1)cos(-1),所以 f(-）>巨f(-1)c0s1,故A错误：对于 B选项，由h（-平)<h（一)可得 f(-)os(-)<f(-)os(-),所 以f(-)<罗f(看》，放B错误：对于c 选项，由h(-)<h(-子)，可得 f(-)os(-)<f(-)os(-),所 以誓r(君）)<f(-)o是，故C正确： 对于D选项，由h(-牙)>(-)，可得 f(-)os(-F)>f(-)os(-罗)，所 以w2f(-)>f(-),故D错误。故选C 评注：该题聚焦导数、三角函数、函数性 质等知识点，核心方法是构造含sinx或 cosx的辅助函数（积或商），借助导数判断单 调性，结合奇偶性或不等式变形分析。涉及 导数运算、单调性或奇偶性迁移、三角恒等变 换，属高考导数综合的中档考点。同学们要 熟记基本初等函数的导数及导数的四则运算 法则。 三、构造同构函数 考向1.地位同等同构 例5已知函数f(x)=a.x2+(a+2)· lnx十3(a≤-2)，对任意的x1,x2∈(0， 十∞)，恒有|f(x1)一f(x2)|≥8|x1一x2|, 则实数a的取值范围是_。 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为 (0,+6∞)，f(x)=2ax+a+2。又a≤-2， 则f'(x)<0,所以f(x)在(0，十∞)上单调 递减。不妨设x1≥x2,对任意的x1,x2∈(0， 十o∞)，恒有|f(x1)-f(x2)|≥8|x1一x2|, 即f(x2)-f(x1)≥8(x1-x2),即f(x1)十 8x1≤f(x2)十8x2。令h(x)=f(x)十8x, 易知h(x)在(0，十∞)上单调递减，则h'(x) =2ax+a十2+8≤0在(0，+十∞)上恒成立， 从而a≤之8子在0，+©)上恒成立。设 m(x）= -8.x-2 2x2+1 ,则m'(x)= -8(2x2+1)-(-8.x-2)·4x (2x2+1)2 8(2x-1)(x+1) 2x十)D。易知当x∈(0,2)时， m'(x)<0,m(x)单调递减；当x∈ (经，+∞)时，m'(x)>0,m(x)单调递 增。因此m(x)。=m(侵）=-4，所以a ≤一4，即实数a的取值范围是（一∞， -4]。 评注：本题聚焦导数单调性与不等式恒 成立等知识，点，核心方法为构造函数和参数 分离。具体来说，先判断函数f(x)单调递 减，将|f(x1)一f(x2)|≥8x1一x2|恒成立 转化为函数h(x)=f(x)十8x在(0，十∞) 上单调递减，再分离参数a,求函数m(x）= 28一的最值。本题考查了导数运算、不 等式转化、分式极值，属于高考导数综合难 点。易错点有绝对值符号拆解（方向误判）、 分式求导及极值点分析，体现“不等关系→函 数性质”的转化逻辑。 高三数竿2专节月中学生数理化 知识篇科学备考新指向 考向2.指对混合型同构 1.积商型 例6已知当x>0时，不等式1n efr+2 ≤年恒成立，则实数女的最小值为 ()。 A日 B.1 C.2 D.e 解法一：因为x>0,所以x十2>0。又 。+2>0,所以曲千2≤气20(x+2)… lnx≤(er+2)kx=(er十2)lner。令h(x) =(x+2)lnx(x>0),可得h(x)h(er)①。 良h'(x)=1于三十lnx,令m(x)=h'(x), 则m(x)三2。易知当x∈(0,2)时， m'(x)<0,m(x)单调递减，即h'(x)单调递 减；当x∈(2，十∞)时，m'(x)>0,m(x)单 调递增，即h'(x)单调递增。那么h(x) h'(2)=2+ln2>0,所以h(x)在(0，+∞)上 单调递增。由①得x≤er,则lnx≤k.x,则 k≥n。设M(x)=ln工，则M'(x)= x 1-ln工。所以当x∈(0，e)时，M'(x)>0, M(x)单调递增；当x∈(e,十o∞)时，M'(x) <0,M(x)单调递减。所以M(x)x=M(e) =日，所以k≥名。放选A 解法二：因为x≥0，所以x十2>0。又 +2>0,所以由”2≤年3得(x十2)· lnx≤(er十2)kx,所以lnx(emx十2)≤kx· (e十2)。设g(x)=x(e十2)，可得g(lnx) ≤g(kx)②。又g'(x)=(x+1)e十2，令 t(x)=g'(x),则t'(x)=(x十2)e。易知当 x∈（一∞，一2）时，t'(x)<0,t(x)单调递减； 当x∈（一2，十o∞）时，t'(x)>0,t(x)单调递 增。所以t(x)≥t(-2)=2-e2>0,即 g'(x)>0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递 增。由②得lnx≤kx,则k≥n2,以下同解 x 法一。 15 中学生表理化架学多幸新的 评注：本题属于积型同构，先将不等式变形 为(x十2)1nx≤(e十2)kx,接着构造函数h(.x) =(x十2)lnx(x>0)或h(x)=x(e十2)，转化 为不等式x≤er或In r<kx恒成立，即不等式 k≥n严恒成立，再构造函数M(x)=1n工，最后 x x 利用导数工具求出其最大值即可。 2.和差型 例7已知a>0,若关于x的不等式 g-lnx十工≥a十lna恒成立，则a的取值 x 范围为( )。 A.(0,e] B.(0,1] C.(0,e2) D.(0,3) 解法一：依题意，x>0,所以原不等式可 化为e-lnx十x≥ax+lna,即e+x≥ax +ln(ax),即e十lne≥ax+ln(ax)。令 f(.x)=x十lnx(x>0),则f(e)≥f(a.x)①。 又f()=1+>0,所以fx)在0，+) e 上单调递增。由①得e≥ax,则a≤二。设 M(x)=g,则M'(x)=Cx1D。所以当 x2 x∈(0,1)时，M'(x)<0,M(x)单调递减；当 x∈(1，+∞)时，M'(x)>0,M(x)单调递 增。所以M(x)min=M(1)=e,所以a≤e。 又a>0,所以0<a≤e。故选A。 解法二：依题意，x>0,所以原不等式可 化为e-lnx十x≥ax+lna,即e十x≥a.x +ln(a.x),即x十e≥ln(a.x)十emar)。令 f(x)=x+e,则f(x)≥f(ln(ax))②。 又f'(x)=1十e>0,所以f(x)在R上单调 递增。由②得x≥ln(ax),即e≥ax,则a≤ 、以下同解法二 评注：本题属于和差型同构，先将不等式 变形为e十x≥ax十ln(ax),接着构造函数 f(x)=x十lnx(x>0)或f(x)=x十e,根 据单调性可得f(e)≥f(ax)或f(x)≥ f(ln(ax)),即e≥ax或x≥ln(ax),参变分 离得到a≤，再构造函数M(x)-二，最后 利用导数工具求出其最小值即可。 16 3.双函数型 例8已知实数x,y满足1n(3x+4y 一4)一e+≥2x十3y一6，则x十4y的值为 解析：设m=3x十4y一4>0，n=x+y 则m一n=2x十3y-4。由条件可知，lnm一 e"≥m-n-2,即lnm-m≥e”-n-2。令 广m)=nm-m(m>0),则f'(m)三元卫 =1-”。所以当m∈(0,1)时，f'(m)>0, m f(m)在(0,1)上单调递增；当m∈(1，十∞)， f'(m)<0,f(m)在(1，十∞)上单调递减。 所以f(m)mx=f(1)=-1,即f(m)≤-1。 令h(n)=e”-n-2,则h'(n)=e”-1。所以 当n∈(-∞，0)，h'(n)<0,h(n)在(-∞，0) 上单调递减；当n∈(0，十c∞)时，h'(n)>0, h(n)在(0，十∞)上单调递增。所以h(n)mm =h(0)=-1,所以h(n)≥-1。由题意，若 f(m)≥h(n),则f(m)=h(n)=-1,故m =1,n=0。此时3x+4y-4=1且x+y= 0,解得x=一5，y=5。故x+4y=15。 评注：解答本题的关键是通过观察得到 (3x+4y-4)-(x+y)=2x+3y一4，通过 换元移项将待证不等式分离构造两个同构 式，将不等式转化为“左函数最大值≥右函数 最小值”，当且仅当两者同时取等时成立。考 查函，数放缩、方程联立，核心是“最值夹逼”锁 定等号条件，体现构造思维与方程思想，易错 点在于对放缩等号条件的关联分析。 总之，构造函数法以“结构洞察一函数建 模一导数破题”为核心逻辑，通过变形与构 造，将复杂问题转化为函数单调性、极值等直 观性质的分析。一般地，构造函数法的解题 关键在于捕捉式子的结构特征（如指数对数 的复合、等式的对称关系)，灵活联动放缩、换 元等方法，精准搭建函数桥梁。在高中数学 学习中，同学们应加强对构造函数法尤其是 同构法的练习，积累解题经验，提升数学思维 能力，以便更好地应对各类数学考试和数学 问题的挑战。 (责任编辑王福华)