空间向量易错题型赏析-《中学生数理化》高二数学2025年9月刊

解题篇数曼错题归泰朝哲中学生教理化 高二数学2025年9月 空闯向量易错题型赏矫 ■河北省石家庄二中实验学校 白宇 空间向量与平面向量有很多相似的地 0),BC=(-1,3,0),则∠ABC= 方。部分同学由于对基本概念理解不准确， 错解：由题意知，AB=(2,4,0),BC= 忽视概念的内涵与外延，解题时导致了错解。 (1,3,0)。 下面列举几例，以引起大家的注意。 故cos〈AB,BC〉= AB·BC 一、混淆两个向量平行与两条线段平行 ABIBCI 例1已知四边形ABCD的顶点分别 -2+12=√ 2 ,则∠ABC=45°。 25×W/10 为A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1, 剖析：上述解答忽视了向量的方向。事 3),D(3,-5,3)。 证明：四边形ABCD是一个梯形。 实上，∠ABC的大小是向量BA与BC的夹 错解：由已知得，A=(-2,3,一3)，C市 角，而不是向量AB与BC的夹角。 =(4,-6,6)。 正解：由题意知BA=(一2，一4,0)，BC 易知CD=-2AB,故AB/CD。 =(-1,3,0)。 因为|CD1=2AB|,所以四边形ABCD 故cos〈BA,BC)= BA·BC BABCI 为梯形。 剖析：用向量证明四边形ABCD为梯 2-12 2W5×√I0 -2,则∠ABC=135°。 形，必须证明一组对边平行且另一组对边不 平行。本题若仅证明AB∥CD且|AB[≠ 点评：两个向量的夹角满足：共起点，其 |C元|，并不能说明ABCD为梯形，因为可能 取值范围是[0，π]。本例中，向量BA与BC 的夹角和向量AB与BC的夹角是互补关 会出现A,B,C,D四点共线的情况。 正解：由已知得，AB=(-2,3,一3)，CD 系。 =(4,-6,6)。 三、将两条异面直线所成的角与两个向 故CD=一2A言，AB/C市，且|C市|= 量所成的角相混淆 21AB1. 例3如图 D 因为AD=(0,-4,1),BC=(-2,一1， 1,在三棱锥D- -2),所以AD与BC不平行。 ABC中，DA⊥ 故四边形ABCD为梯形。 平面 ABC, C 点评：两个向量平行，有可能在同一条直 ∠ABC =90°， 线上，这有别于平面中的两条线段平行，应注 ∠ACD=30°， 意区分。 AB=BC,求异面 图1 二、对两个向量夹角的条件认识不清 直线AC与BD 例2在△ABC中，已知AB=(2,4, 所成角的余弦值。 33 中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高二数学2025年9月 错解：设AD 与第一个向量的终点相重合，再使第三个向 的长为a,建立如 量的起点与第二个向量的终点相重合。 图2所示的空间 四、错用共面向量性质，对充要条件不理 直角坐标系， 解致误 A(0, 0,0), 例4对于空间某一点O,空间四个 B停 点A、B、C、D(任意三个点不共线)分别对应 图2 着向量a=OA,b=OB,c=OC,d=OD,求 C(0,3a,0),D(0, 证：A、B、C、D四点共面的充要条件是存在 0,a)。 四个非零实数a,B,入，o,使aa十b+入c+ 易得AC=(0,3a,0),B市=-(-5 6d=0,且a+3+入+o=0。 错解：由题意知σ≠0。 乞aa。显然AC-5a,BD1= 2a, 因为aa十b十Ac十od=0,a十B+入十。 0,所以aa+b十Ac=-sd,即aOA+BOB十 BD.AC=- 3 2a。 0元=-0心，也即(-g)oi+(-)oi+ AC.BD 故cos日= √30 |ACIB方 10 ,AC与 (-2)心-oò BD所成角的余弦值为一 30 因为a十B十入十。=0，所以a十B十入= 10 剖析：混淆两条异面直线所成的角与两个 向量所成的角。异面直线AC和BD所成角 故(-)+(）+（-之)=1，由共 是不大于直角的正角，而AC与B元的夹角不 面向量定理可知A、B、C、D四点共面。 一定就是异面直线AB和CD所成的角。 剖析：不能正确理解共面向量定理而出错。 正解：设AD的长为a,建立如图2所示的 正解：（必要性）若A、B、C、D四点共面， 空间直角坐标。则A(0,0,0),B52,3。 因为A、B、C三点不共线，所以AB,AC不 2a,2a,0, 共线。因此存在实数x,y,使得AD=xAB十 C(0,√3a,0),D(0,0,a)。 yAC,且x≠0，y≠0，x十y≠1，即d一a= t=05a,o.励-(。a) x(b一a)十y(c一a),得(x+y-1)a一xb yc+d=0. d-8a励-少。励.d- 3 2a。 令a=x+y-1,B=-x,λ=-y,o=1, 则aa十3b十Ac十od=0,且a十B十入十o=0。 AC.BD 则c0s0= √30 (充分性)若a十B十入十。=0，则σ= ACIBDI 10 (a+B十入)。代入式子可得aa十b十入c 因为异面直线AC和BD所成角是不大 于直角的正角，所以AC与BD所成角的余 (a+B+A)d=0,化简可得D元-一&DA 弦值为V30 10 是·D正，所以元与D,成共面，即A、 点评：两条异面直线所成的角与两个向 B、C、D四点共面。 量所成的角不完全等同，应注意各自的取值 总之，加强对错解的研究，有助于同学们 范围，解题时应予以足够的重视。同时，我们 进一步认识概念，强化思维的严谨性，有助于 用向量法研究两条异面直线所成的角，应注 提高同学们的分析问题、解决问题的能力，从 意正确地用坐标表示向量，正确运用空间向 而更有助于学习。 量的运算法则，尽可能使第二个向量的起点 (责任编辑徐利杰) 34