空间几何中最短(长)距离问题的求解策略-《中学生数理化》高二数学2025年9月刊

中学生教理化蓝学经典翠酸方法 空间几何中最短（长 ■河南省栾川县第 空间几何体上两点间最短（长）路径问题 的探究是高中立体几何学习中的难点，一般 通过转化求解，即将立体图形展开为平面图 形，有时也可以通过找对称点、补形求解。 一、通过“化曲为直”求解 例1如图1，圆柱的M 高为2，底面周长为16，M、 F …0 N分别是圆柱上、下底面圆 N 周上的两点，其中OE⊥ 图1 ON,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径 中，最短路径的长度为多少？ 分析：通过圆柱侧面展开图，确定M,N 的位置，然后利用勾股定理求展开图中MN 的长即可。 解：将圆柱的侧面沿 ME展开，M,N的位置 (N为EP的四等分点) 图2 如图2所示。 底面周长为展开矩形的长，故EP=16, 圆柱高为展开矩形的宽，故EM=2。 所以EN=子×16=4，则图中MN即为 M到N的最短路径，MN=√EM+EN √2+4=25。 例2如图3，已知圆 锥的顶点为P,底面圆心为 O,A,B是底面圆周上两点， PB=6,OA=4,∠AOB= 90°，C为线段PB的中点 一只蚂蚁沿着圆锥表面从点 图3 A爬到点C经过的最短距离 是多少？ 分析：将圆锥的侧面沿母线PA展开成 扇形APA',判断出最短距离是线段AC,利 用余弦定理求解即可。 解：将圆锥的侧面沿母线PA展开成扇 形APA',如图4所示。 所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬 24 距离问题的求解策略 高级中学 孟冬冬 到点C经过的最短距离是线 段AC。 扇形APA'的弧长为 2πX4=8元，所以∠APA'=8r 6 =经.因为∠A0B=90,所 图4 以AB=AA,故在扇形APA'中，∠APB= 。又C为线段PB的中点，则PC=3. π 在△APC中，∠APC= 3PC=3,PA=6, 由余弦定理得AC-√8+3-2X6X3×0s写 =33。所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A 爬到点C经过的最短距离是3√5。 例3圆台上底面半径为2cm,下底 面半径为4cm,母线AB=8cm,A在上底面 上，B在下底面上，从AB中点M拉一条绳 子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子的最短 长度为多少？ 分析：先画出圆台的侧面展开图，并还原 成圆锥展开的扇形，则所求的最短长度是平 面图形中两点连线长度，根据条件求出扇形 的圆心角及半径长，再求出最短长度。 解：如图5，画出圆台的 侧面展开图，并还原成圆锥 展开的扇形。设扇形的圆 B 心为。，则所求的最短长度 是MB'. 图5 设OA=R,圆心角是a,则由题意知， 4r=aR,8m=a(8十R),解得a=分，R=8。 所以OM=12,OB′=16，则MB'= √12十16=20。故绳子的最短长度为20cm。 二、通过“化折为直”求解 例4如图6，在正三棱锥P-ABC中， PA=2√2，三条侧棱两两夹角均为40°，M, N分别是PA,PB上的动 点，求△CMN的周长的最 小值。 分析：沿PC展开，由 平面图形结合余弦定理即 可求解。 图6 解：如图7，把正三棱锥 沿PC展开，形成三个全 等的等腰三角形，则 ∠CPA=∠BPC'= C ∠APB=40°，∠CPC'= 120°。连接CC',交PB于 图7 N,交PA于M,则线段 CC'就是△CMN的最短周长。 在△PCC中，∠CPC'=120°，PC=PC= 2√2，根据余弦定理得CC= √8+8-2×2E×2E×(-2)=26。 故△CMN的周长的最小值为2√6。 三、通过找对称点求解 例5在棱长为1的正方体ABCD- A1BC1D1中，E,F分别是AA1,AD1的中 点，点P在线段C1F上，A反=λAB十AD (入，∈[0,1])，求EQ+PQ的最小值。 分析：取点E关于平面ABCD的对称点 E',可得EQ十PQ≥E'P,根据模长公式结合 二次函数分析最值即可。 解：由A反=λAB十uAD(入，u∈[0,1])， 得点Q在正方形ABCD内（包括边界）。 以点A为坐标原点， A 建立如图8所示的空间直B C 角坐标系，则E(00,） 41. 因为点P在线段CF Q B 上，所以可设P(2a-1,a, E 1,2<a<1。 图8 取点E关于平面ABCD的对称点 E(O0,-2),则Q+PQ=E'Q+PQ≥EP。 因为E-(2a-1,a,多)，所以E节 数攀方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 9 √(2a-1)2+a2+ 5a2-4a+。 13 因为f(a)=5a-4a+的图像开口向 上，对称轴为a=号，所以f(a)在[2,1]内 2 单调递增，则fa)=f(分)-。 故E立的最小值为，即EQ+PQ 的最小值为罗 四、通过补形求解 例6阿基米德多面 体也称为半正多面体，是以 边数不全相同的正多边形为 面围成的多面体。如图9，已 知阿基米德多面体的所有顶 图9 点均是一个棱长为2的正方 体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体 积为；若M,N是该阿基米德多面体表 面上任意两点，则M,N两点间距离的最大 值为 分析：第一空，将该多面体置于正方体 中，可知该多面体是由正方体切掉8个全等 的三棱锥形成，由此可求体积。第二空，结合 该多面体的外接球是补形后正方体的棱切 球，求M,N两点间距离的最大值即可。 解：如图10，将该多面体 补成一个棱长为2的正方 体，所以该阿基米德多面体 是由正方体切掉8个全等的 三棱锥形成，其体积V=2× 图10 2×2-8×日×2×1X1× 120 3。 该阿基米德多面体的外接球刚好是正方 体的棱切球，即与正方体的各条棱相切于棱 的中点的球，该球直径为2√2。而M,N两 点间距离的最大值为外接球的直径，故M,N 两点间距离的最大值为2√2。 （责任编辑赵倩) 25