例析求立体几何中最值的八种方法-《中学生数理化》高二数学2025年9月刊

解题篇经典题突破方法 高二数学2025年9月 中学生数理化 例析求立体几何中最值的八种方法 ■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 立体几何是高中数学的重要内容，主要 方法二：利用a十b≥2√ab 考查同学们对空间图形观察、分析、抽象的能 例2(2025年福建 力，研究空间中点、线、面之间的位置关系，其 龙岩高三联考)如图3，在 中，与最值有关的问题常常出现。下面利用 D 三棱锥P-ABC中，G为 八种方法求解立体几何中的最值问题。 △ABC的重心，P下= 方法一：利用2ab≤a2十b2 例1(2025年 2P心，P心=PA,Pi 河北沧州五个一名校 uPB,A,∈(0,1)，若PG 图3 高三第二次联考)如图 交平面DEF于点M,且 1,在四面体PABC Pi=专P店，则A十r的最小值为一 中，D、E分别为棱 图1 PC、AB的中点，且 解析：因为P心-P+AG-P+子× AC⊥BC,PC⊥DE,AB=2,则该四面体体 积的最大值为( )。 多(A店+AC)-PA+号(A庐+P店+A市+ A日 C. 2 D.1 3 P心)=号Pp时+P馆+子P元，所以PM 解析：连接CE、 PE,如图2所示。 专G-日P+i+,. 因为D、E分别为 因为PD=入PA,P克=uP艿，P京= 棱PC、AB的中点，且 AC⊥BC,PC⊥DE, 心，所以i-最而+成+号㎡。 AB=2,所以PE= 图2 因为M,D,E,F四点共面，所以入十9 1 CE=AE=BE=2AB=1。 1,即+ 2 9 17。 故P、A、B、C均在以E为球心，1为半 径的球面上。 因为A+=号A+)(份+2)=7· 1 因为Sar=2AC·BC<(AC十 (2+长+之)≥号，所以入十公的最小值为 BC2)= AB2-子×2-1，且点P到平面 号，当且仅当X=么=号时等号成立。 ABC的距离d的最大值为球E的半径，所以 评注：常数代换法解题的关键是通过代 3sac·d≤号×1×1= 1 V国度体PABC .1 3,郎 数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后 四面体PABC体积的是大值为分 利用基本不等式求最值。 方法三：利用二次函数的性质 故选B。 例3(2025年山西临汾二模)在三棱 评注：不等式2ab≤a2十b2中，a,b可以 取任意实数，当且仅当a=b时等号成立。 锥P-ABC中，∠PAB=∠CAB= 2,AP= 17 中学生表理化然氨学品破方法 AB,AB十AC=6,且二面角P-AB-C的大小 知三棱锥A-BCD外接球的球心O为棱AB 为严，则当该三楼锥的外接球体积最小时， 的中点，若AB=4,CD=3,则该三棱锥体积 3 的最大值为。 AB=( )。 解析：因为球心O为棱AB的中点，所以 号 B.3 D24 7 ∠ACB=∠ADB=,OC=OD=2AB- 解析：因为∠PAB=∠CAB=,且二 2。又CD=3,所以点O到直线CD的距离 面角P-AB-C的大小为否，所以∠PAC为 h= √c-(gcD)-吾，所以△0cD的 二面角PABC的平面角，即∠PAC- 面积SAOCD= 1 4 因为AB⊥PA,AB⊥AC,PA∩AC= 设点A到平面OCD的距离为d,直线 A,PAC平面PAC,ACC平面PAC,所以 AB与平面0CD所成的角为0,0∈(0，]， AB⊥平面PAC。 则d=OAsin0=2sin0。 设AB=x,则AP=x,AC=6-x。 在△PAC中，由余弦定理可得PC= 所以三棱锥A-BCD的体积VABD= 2+(6-z)-2x(6-)·c0餐=x2 2Vm=2×吉5m·4=2x号×3平× 4 6x+36。 2sing=V7sin9≤厅，当且仅当9=至，即 1 则△PAC的外接圆半径r=2· PC 2元 AB⊥平面OCD时，等号成立。 sin 3 所以该三棱锥体积的最大值为√7。 ·2-6x+36。 评注：正弦函数y=sinx是有界函数， 故三棱锥P-ABC的外接球的半径R满 ,]时，y=sinx是增函数，其值域 当x∈0,2 足R=r2+(合AB）= (x2-6.x+36)+ 为[0,1]。 方法五：利用余弦函数的性质 ()广-(-)'+% 例5(2025年四川成都高三4月三诊) 当x-号时，球的半径取得最小值，此时 在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且 PA=PB=PC=2。若M为该三棱锥外接球上 三棱锥的外接球体积最小，所以AB= 的一动点，则M店·M心的最小值为 79 解析：如图4，将三棱锥z个 故选A。 放置在正方体中，三棱锥的C 评注：对二次函数f(x)=ax2十bx十 外接球就是正方体的外接 c=a（x+ b)i ac-bi (a≠0)，当a≥0， 球，球心为正方体对角线的 2a Aa 交点O,以P为坐标原点建 且x=- 时，f(x)取得最小值4ac一b b ；当 立空间直角坐标系。 2a 图4 则P(0,0,0),A(2, a<0,且x=- b 2a 时，f(x)取得最大值 0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),O(1,1,1), Aac-b2 M(x,y,2)。 Aa 设三棱锥外接球的半径为R,则R= 方法四：利用正弦函数的性质 √/22+22+29 例4(2025年江西萍乡高三二模)已 2 =3。 18 解题篇经典题突破方法 高二数学2025年9月 中学生数理化 故Mò2=1Md12=R2=3,Oi=(-1, 时，等号成立。 1,-1),0C=(-1,-1,1)。 因此PE十PC的最小值为√5。 所以OB+OC=(-2,0,0),Oi.O元= 评注：三角形中，任意两边之和大于第三 1-1-1=-1,|Mò1=5。 边，当三，点共线时三角形不存在。 由向量模长公式得1O+O元1= 方法七：利用两点之间线段最短 √/（-2)=2。 例7如图6，在直三棱柱ABC- 而M官.M心=(Mò+Oi)·(Mò+ A1B1C1中，AB=BC=2, A B O心)=3+(OB+O心)·Mò-1=2+(Oi+ BB1=2√2，∠ABC=90°， OC)·Md。 E E,F分别是AA1,B1C1的 设0=(O店+OC,Mò)，8∈[0，π]，则由 中点，沿棱柱表面，从E到 数量积的定义得(Oi+OC)·Md=|O+ F的最短路径长为。 OC1·1Mò1·cos0=2√3cos0。 解析：①若从E到F 所以MB·M元=2+2cos0,由余弦 经过棱AB1,则沿棱 图6 函数的性质得，当c0s0=一1，即日=π时， A1B1展开，如图7，过点E作 MB.M乙取得最小值2一2√3。 EG⊥BB1于点G,则EG= 评注：余弦函数y=cosx∈[1,1]是有 AB=2,FG=1十√2，所以 6 界函数。 EF=√22+(1+√2)2 方法六：利用三点共线的条件 G √7+2√2。 例6(2025年江西赣州二十五校高 ②若从E到F经过棱 A 三联考)已知正四棱锥S-ABCD的各棱长均 BB1,则沿棱BB,展开，如图8， 图7 为2，点E是棱SB的中点，动点P满足 A1E=√2，A1F=3,所以EF= PB⊥SA,则PE十PC的最小值为 (√2)2+32=√T。 C 解析：如图5， 分别取SA,AB的 ③若从E到F 中点M,N,连接 经过棱CC1,则沿棱 DM,BM,EN, CC1展开，如图9。 B PN,CN,设BM∩ 在直三棱柱中，AB 图8 EN=F。 =BC=2,∠ABC= 图5 因为△SAD, 90°，所以AC= G 、B △SAB为等边三角形，所以DM⊥SA, √22十2=2√2。则 BM⊥SA 在平面图形中，A1E 因为DM∩BM=M,DMC平面BDM, =√2，A1F=2√2十 BMC平面BDM,所以SA⊥平面BDM。 1,所以EF 图9 因为动点P满足PB⊥SA,所以点P∈ /2+(2√2+1) 平面BDM。 又因为N,E分别为AB,SB的中点，所 √11+4√2。 以NE∥SA,且点F为NE的中点，因此 ④若从E到F经过棱 NE⊥平面BDM,且点E关于平面BDM的 AC1,则沿棱AC1展开，如图 10。由题意知，△A1B,C1为等 对称点为点N。 所以PE+PC=PN+PC≥CN= 腰直角三角形，四边形ACC1A1 为正方形，故△A1AC1为等腰 图10 √2+1严=√5，当且仅当C,P,N三点共线 19 中学生表理化部学品圣酸方法 直角三角形，四边形A1BC1A为直角梯形。因 后面的射影图形的面积相等，点E在前面 为A1B1=2,AC1=√(2√2)2+(2√2)2=4，所以 的射影是A1B1的中点E1,点F在前面的 ×2+4)=3。 EF=1 射影是AA1的中点F1。故四边形BGE1F1 故沿棱柱表面，从E到F的最短路径长 的面积为2 为3。 同理，四边形BGEF在正方体左右面的 评注：沿棱柱的表面，从E到F可能经 射影图形的面积相等且等于车：四边形 过棱AB1,BB1,CC1,AC1,体现了分类讨 BGEF在正方体上下面的射影图形的面积相 论思想在立体几何中的应用。 方法八：利用射影法 等且等于8 例8如图11，正 综上，四边形BGEF在正方体前后面的 方体ABCD-A1B1C1D1A 的棱长为1，G,E分别 射影因形的面积最大，最大值为。 是BB1,C1D1的中点， G 评注：求解这类问题的关键是找到四边 C 点F是正方形ADD1A1 形BGEF四个顶点在各个面上的射影点的 的中心。则四边形 B 位置，然后根据正方体的性质计算其面积，应 BGEF在正方体六个面 图11 注意正方体有六个面，共有六种情况。 内的射影图形的面积的最大值是 (责任编辑赵倩) 解析：易知四边形BGEF在正方体前 00060000000000000000a2050000000000000060500030000000030005006000000002000300000000600000000000 (上接第13页) 设OM=λOP=(0,0,√5)(0≤入≤1)， 又e[引故当=号即a= 则Di-ò+成-（停-2x刘 时， Γ3入2+17 (3入+2)2」 =7,所以(sin0) 设平面ABE的法向量n=(x,y,之)，则 A店，n= 3 2x+2y=0, 1,此时D成=(-) 令y=一1，解得 3 故MA=D-D=(o,-1,-）) x=√5，x=√3，故n=(√3，-1，√3)。 点M到平面ABE的距离d= MA·n 设直线DM与平面ABE所成角为0，则 n sin 0 |DM·n |2+3入 DMIn √7·√3x+I 27 √7149 点拨：(1)设AC∩BD=F,连接EF,即 √7 3入2+1 W(3入+2)9 可证明EF⊥平面ABD,PO∥平面BDE,OF 令t=3x+2,则t∈[2,5]，A=2,故 ⊥平面BDE,再由锥体的体积公式计算可 3 得。(2)以F为坐标原点，建立空间直角坐标 (t-2)2 系，先利用空间向量求出直线DM与平面 3入2+1 十1 3 t2-4t十7 (3入+2) 3t ABE所成角的正弦值，再由点到面的距离公 式计算可得。 3(-+)=[(-)+] (责任编辑赵倩) 20