专题02 直线和圆的方程 10个高频考点（期中真题汇编，人教A版）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02直线和圆的方程 ☆10大高频考点概览 考点01倾斜角与斜率 考点02两条直线的垂直与平行 考点03直线方程 考点04直线的交点问题 考点05点与点、点与直线、直线与直线的距离 考点06圆的方程 考点07直线与圆、圆与圆的位置关系 考点08圆的切线 考点09圆的弦长求解及应用 考点10直线与圆的综合 目目 考点01 倾斜角与斜率 一、单选题 1.(24-25高二上河南开封部分学校期中若经过A2,a),B(-a,2a-1)两点的直线斜率为1，则实数a=() A.3 B.-克 C.2 D.1 2.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区期中)若直线1：x=tan号的倾斜角为a,则=() A.0 B.胃 C.罗 D.不存在 3.(24-25高二上·浙江台州山海协作体·期中)直线x=tan75·的倾斜角为() A.90° B.75° C.0 D.不存在 4.(24-25高二上·江苏镇江第一中学)已知直线方程为x-ytan60°-3=0，则该直线的倾斜角为（) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.(24-25高二上辽宁大连第八中学期中)已知直线1过点A(1,0),B(2,V5),则直线的倾斜角为() A.晋 B.胃 C. D. 6.(24-25高二上江苏南通海安高级中学期中)若经过A(m,2),B(1,2m-1)两点的直线的倾斜角为 135,则m=() A.-4 B.-2 C. D.2 7.(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学期中)已知直线1的倾斜角为60°，方向向量a=(3,y).则y=() 1/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3V5 B.5 c. D.9 8.(24-25高二上·河南驻马店环际大联考逐梦计划”期中)已知直线1的倾斜角满足60·<《≤135·， 则1的斜率k的取值范围是() A.[1,3 B.[-5,] c.（∞，-1]u5,+∞D.（∞，5]U(-1,+∞ 9.(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学期中)直线y=1的斜率为() A.1 B.0 c.罗 D.不存在 10.(24-25高二上广西“贵百河一武鸣高中”期中)设直线的方程为V3cos6·x-y+7=0(日∈R)，则直 线，的倾斜角的取值范围() A.[0,] B.[胃，] C.(-o,晋]U[,π)D.[0,]U[,π) 11.(24-25高二上·天津南开区)下列说法错误的是(). A.有的直线斜率不存在 B.截距可以为负值 C.若直线1的倾斜角为a,且≠90°，则它的斜率k=tanc D.若直线1的斜率为1，则它的倾斜角为买 12.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学.期中)已知A(-2,3)、B(2,1),若斜率存在的直线1经过点 P(0,-1),且与线段AB有交点，则1的斜率的取值范围为() A.[-2,1] B.[-1,2] C.(-∞，-2]U[1,+∞)D.(-∞，-1]U[2,+∞) 13.(24-25高二上陕西西安交通大学附属中学·开学考)已知点A(2,-3),B(-3,-2),若过点(1,1)的 直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是() A.(-∞，-]U[4,+∞) B.(-∞，-4]U[,+∞) c.[-,4] D.[-4,] 14.(24-25高二上广东东莞光明中学期中)已知点A(1,2)、B(-3,6),则过A、B两点的直线斜率为() A.-1 B.吉 C.1 D.2 二、非选择题 15.(24-25高二上·青海海南州期中)过A3m-1,3m-2),B(2m2m2)两个不同点的直线1的斜率为1，则 实数m的值为 16.(24-25高二上北京大兴区期中)已知A(1,1),B(2,2),C(0,n)三点共线，则n=一· 2/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(24-25高二上福建永春第一中学期中)平面直角坐标系x0y中，直线的方向向量为=（-1，V5), 则的倾斜角为 目目 考点02 两条直线的垂直与平行 一、单选题 1.(24-25高二上河南开封五校期中)直线：x-3y+1=0和直线m:3x+y-1=0的位置关系为() A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 2.(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中已知直线1：ax+2y=0与直线 12:x+(a+1)y+4=0平行，则实数a的值为() A.-2 B.号 C.号或l D.-2或1 3.(24-25高二上福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学期中)已知直线！1： ax+(a+2)y+1=0,l2:x+y+2=0,则“a=-1"是“1//12的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高二上河南洛阳创新联盟发展·月考)已知直线11：x+(2-k)y+1=0与12：2y+3=0垂直， 则k=() A.0 B.1 C.2 D. 5.(24-25高二上·云南长水教育集团)已知1,12为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为() A.若1,12的斜率相等，则1,12平行 B.若1/2，则l1,12的倾斜角相等 C.若1,12的斜率乘积等于-1，则1,12垂直 D.若1⊥12，则1，l2的斜率乘积等于-1 6.(24-25高二上广东韶关曲江区曲江中学·期中)若直线(m-1)x+y+2=0与直线2x+my-1=0垂直， 则m的值为() A.-号 B.号 c.2 D.号或0. 二、非选择题 7.(24-25高二上河北部分校期中)己知直线l1的一个方向向量为(b,),直线l2的一个方向向量为 3/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1-a,2,其中a,b为正数，若l1112,则3a+2b的最小值为. 8.(24-25高二上·云南文山州富宁上海新纪元实验学校期中)已知直线山1和l2,下列命题： ①l1//12的充要条件是k1=k2:②l1//12的充分条件是k1=k2: ③l1/12的必要条件是k1=k2:④l1112的充要条件是k1k2+1=0; ⑤l1⊥12的充分条件是k1k2+1=0;⑥l1⊥12的必要条件是k1k2十1=0； 正确的是 9.(24-25高二上贵州六盘水水城区期中)(1)己知A(0,3),B(4,0),C(-8,9),判断A,B,C三点 是否在同一条直线上； (2)已知直线4的倾斜角为，直线2经过P(-1,V5),Q(8,-2W5)两点，判断1与l2是否垂直， 10.(24-25高二上广西部分学校)已知直线l1:ax-(a-4)y+2=0,直线l2:2x+ay-1=0 (1)若1l2,求实数a的值： (2)若1⊥12，求实数a的值 目目 考点03 直线方程 一、 单选题 1.(24-25高二上福建福州青鸟北附高级中学期中)已知直线1经过点P(1,0),且方向向量节=（(1,2)，则 1的方程为( A.x-2y-1=0 B.2x-y+2=0 C.2x-y-2=0 D.x+2y-1=0 2.(24-25高二上广东广州育才中学期中)已知直线1倾斜角为受，且过点A(4,1),则直线1的方程为() A.y B.y-1=x4 c.y-1=-5x-4) D.y-1=5x-4) 3.(24-25高二上·广东河源龙川县第一中学期中)过点(3，-2)，倾斜角为30·的直线方程为() A.y-2=V3(x+3) B.y+2=V5(x-3) c.y-2=号(x+3) D.y+2=5(x-3) 4.己知直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线的方程为() A.y=V3x+3 B.y=-V3x-3 4/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.y=-V3x+3 D.y=V3x-3 5.(24-25高二上甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)直线等-号=1的纵截距为() A.-2 B.- C.2 D.3 6.(24-25高二上·山东菏泽期中下列选项中，与直线：5x+7y=1平行的直线是() A.10x+14y=2 B.5x-7y=0 C.7x-5y=0D.15x+21y=1 二、多选题 7.(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学.期中)已知直线：2x-3y+1=0,则() A.1不过原点 B.1在x轴上的截距为方 C.的斜率为 D.1与坐标轴围成的三角形的面积为3 三、非选择题 8.(24-25高二上北京第一五九中学期中)直线1的倾斜角为a,且sinc=,若1过点(1,0)，则直线1的 方程为」 9.(2425高二上四川绵阳南山中学实验学校期中)直线x-2y+2=0在x轴上的截距为 10.(24-25高二上广东广州育才中学期中)直线1过点(3,3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线1的方程 为 11.(24-25高二上江苏南通海门)经过A(2,1)与B(1,2)两点的直线方程为 12.(24-25高二上·江苏淮阴中学期中)已知直线1过点(3,1)，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角 三角形，则直线1的方程为 13.(24-25高二上广东东莞光明中学期中)直线1的方程为(a+1)x-y-3a-1=0,a∈R, (1)若直线！在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线1分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B,点O是坐标原点.若△A0B的面积为16，求a的值 14.(2425高二上江苏海门中学期中)直线1：x-V5y+V5=0与y轴交于点P,将1绕点P逆时针旋转105° 得到直线1，则直线的方程为一 15.(24-25高二上.宁夏吴忠秦宁中学期中)已知直线：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求直线1所过定点； (2)若直线1不经过第四象限，求实数a的取值范围； (3)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求1的方程. 5/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学.期中)已知直线l1:x+(m+1)y+1=0,12: (m+1)x+y-1=0. (1)若1//12，求m的值. (2)设直线l1过的定点为A,直线l2过的定点B,且当m=1时，直线1与l2交点为C,求△ABC中BC边上 的高所在直线1的方程 目目 考点04 直线的交点问题 一、单选题 1.(24-25高二上山东实验中学期中)若三条直线1：4x+y=3,12:x+y=0,13:x-my=2不能围成 三角形，则实数m的取值最多有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(23-24高二下·上海中学东校·月考)已知直线1的方程是(3a-1)x-(a-2)y-1=0,则对任意的实数a, 直线！一定经过（) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、多选题 3.(24-25高二上·广西玉林六校期中)已知直线1：ax+y-3a=0,直线12：2x+(a-1)y-6=0,则() A.当a=3时，1与l2的交点为(3,0) B.存在a∈R,使l1/2 C.若l1112,则a=寺 D.直线1恒过点(3,0) 4.(24-25高二上·广东佛山顺德区第一中学.期中)己知三条直线 2x+3y+1=0,4x-3y+5=0,x+my-1=0能构成三角形，则实数m可能为() A.-美 B.-星 C.π D.6 三、非选择题 5.(24-25高二上湖南长沙芙蓉高级中学期中直线11：x+y-11=0与直线12：2x-y-4=0的交点坐标为 6.(24-25高二上江苏淮安高中校协作体·期中)分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点A3,2,且与直线2x+y-5=0垂直 (2)经过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点，且与直线2x-3y-6=0平行 6/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学期中)直线x+y+b=0与线段AB没 有公共点，其中A(1,2),B(3,-3),则实数b的取值范围是 8.(24-25高二上天津南开中学)若过点P(1,-1)的直线1与直线y=-2x+3的交点位于第一象限，则直 线！斜率的范围是— 9.(24-25高二上·四川自贡田家炳中学.期中)直线1被两条直线l1:4x+y+3=0和2：3x-5y-5=0截得 的线段的中点为P(-1,2),求直线1的方程 考点05 点与点、点与直线、直线与直线的距离 一、单选题 64.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)点A(1,3)关于直线y=x+1的对称点坐标为 () A.(0,2) B.(2,2) C.(2,4) D.（4,2) 65.(24-25高二上云南玉溪新平彝族傣族自县民族中学期中)一光线过点(2,4)，经倾斜角为买的且过 (0,1)的直线1反射后过点(5,0)，则反射后的光线不会经过下列哪个点() A.(1,-)B.(2,-) C.（3-) D.(4-) 二、多选题 9.(24-25高二上广东东莞五校)过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程() A.X-2y=0 B.x+2y=0 C.y=1 D.8=1 三、非选择题 10.(24-25高二上江苏常州联盟学校期中)已知△ABC的三个顶点为A(-2,1),B(1,4),C(0,-1) (1I)求证：△ABC为直角三角形； (2)求BC边上的中线长及中线所在的直线方程 11.(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)函数 f(x)=Vx2-2x+17+Vx2-10x+29的最小值为 12.(24-25高二上江苏南通海门)已知△ABC三个顶点分别是A(1,3),B(3,1),C(m,n)· (1)当m=-1n=0时，求边AB的高所在的直线方程； 7/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若△ABC的面积为5，求点C的坐标满足的关系. 13.(24-25高二上福建福州八县()协作校：期中)在△ABC中，A(5,-2),B(7,4),且AC边的中点 M在x轴上，BC边的中点N在y轴上 (I)求AB边上的高CH所在直线方程； (2)设过点C的直线为1，且点A与点B到直线距离相等，求直线1的方程. 14.(24-25高二上河北石家庄第一中学.期中)已知直线1的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0 (1)当m=1时，求点0(3,4)到直线1的距离： (2)当m=-3时，P为直线1上一动点，若A(1,4),B(3,5),求PA+PB的最小值 15.(24-25高二上江苏常州金坛区期中)点M(-3,4)与点N(1,0)关于直线1：ax-by+3=0对称，则 a十b的值为一 16.(24-25高二上北京广渠门中学期中)已知直线1：(2m+1)x+(m+1)y-5m-4=0, (1)当m=0时，一条光线从点P(2,0)射出，经直线1反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线1恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）， 17.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学.期中)直线2x+y-1=0与直线4x+2y+3=0间的距离为 () A.45 5 B.写 c. 18.(24-25高二上安徽六安第二中学期中)平行于直线x-y-2=0,且与它距离为√2的直线方程是 。 19.(24-25高二上山东泰安期中)已知直线1：y=kx-2k+1与直线12关于点(1,0)对称，则12恒过的定 点为() A.(2,1) B.(2,-1) C.(0,-1) D.(-1,-1) 20.(24-25高二上湖北“鄂北联考”.期中己知点A(2,3),B(0,0),动点P在直线x-y-1=0上，则 |PA+PB的最小值为 目目 考点06 圆的方程 一、单选题 88.(24-25高二上湖北孝感一般高中协作体期中)己知圆的方程是x2+y2-2x+2y-3=0,则下列直线 中通过圆心的是() A.x+y-2=0B.x-y-1=0 C.2x-y-3=0D.x-2y-5=0 8/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 89.(24-25高二上江苏宿迁沭阳县期中)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4P>0)所表示 的曲线关于y=x对称，则必有() A.D=E B.D十E=0 C.D=F D.F=E 二、非选择题 11.(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学.期中)以点(-1,1)为圆心，且经过点A(3,4)的圆的方程 是 12.(2425高二上陕西师范大学附属中学期中)过点A(-1,-1),B(0,-2),C(3,1)三点的圆的标准方 程为 13.(24-25高二上山西晋中榆社中学期中)已知A-1,1),B(2,-2),C(5,1) (1)求直线BC的方程， (2)求△ABC的外接圆的方程 14.(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知点 A-4,-2,B(-4,2,C-2,2,△ABC外接圆的方程是 15.(24-25高二上四川期中)已知圆P过(-1,1)，(7，-3)，(5，-7)三点，则圆P的面积为 16.(24-25高二上江苏苏州张家港期中)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx-1的图象与坐 标轴分别交于点A,B,C,记△ABC的外接圆为圆E,①当m=时，圆E的一般式方程是 ;② 圆E恒过的两个定点是 17.(24-25高二上内蒙古包头第八十一中学.期中)若圆x2+y2+4x-2y+F=0的半径为2，则 F= 目目 考点07 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单选题 1.(24-25高二上·安微阜南实验中学)已知直线：x+y-2=0与圆C:x2+y2=2,点A(1,1),则下列说 法正确的是() A.点A在圆C上，直线1与圆C相切 B.点A在圆C内，直线1与圆C相离 C.点A在圆C外，直线1与圆C相切 D.点A在圆C上，直线！与圆C相交 2.(2425高二上江苏连云港高级中学)圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的位置关系是() A.外离 B.相交 C.外切 D,内含 9/15 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高二上福建莆田第十六中学期中)若点(a,b)在圆M:x2+y2=2外，则直线ax+by=2与圆 M的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相离 4.(24-25高二上甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）期中)曲线y=1+V4-x2(-2≤x≤2)与直线 y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是() A.[,+∞)B.（,] c.(,] D.[待，+∞) 5.(2425高二上安徽淮南凤台县第一中学期中)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4,一条光线从点 A(-1,2)处射到直线：x+y=0上，经直线1反射后，反射光线与圆C有公共点，则反射光线斜率的取值范 围是() A.(-∞，0U[器+∞) B.[0,] c.（-o,0U[器，+∞ D.[0,] 6.(24-25高二上山东济钢高级中学期中)已知圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)关于直线 x+2y+1=0对称，圆C2的标准方程是(x+2)+y-3)=16,则圆C1与圆C2的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 7.(24-25高二上陕西西安交通大学附属中学月考)圆C1:(x-2)2+(y-4)2=9与圆 C2:x2+y2-10x+9=0的公切条数为() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 二、多选题 8.(24-25高二上·云南大理州南涧彝族自治县第一中学期中)已知直线1：ax+by-r2=0(r>0)与圆 C:x2+y2=2,点Aa,b),则下列说法正确的是() A.若点A在圆C上，则直线！与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线1与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 D.若点A在直线！上，则直线1与圆C相切 三、非选择题 9.(24-25高二上·重庆巴渝学校·期中)己知A0,0),B8,-6,圆C1是以线段AB为直径的圆，圆 10/15 专题02 直线和圆的方程 10大高频考点概览 考点01 倾斜角与斜率 考点02 两条直线的垂直与平行 考点03 直线方程 考点04 直线的交点问题 考点05 点与点、点与直线、直线与直线的距离 考点06 圆的方程 考点07 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点08 圆的切线 考点09 圆的弦长求解及应用 考点10 直线与圆的综合 地 城 考点01 倾斜角与斜率 一、单选题 1．(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 2．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】由，可得，所以直线的倾斜角. 故选：C. 3．(24-25高二上·浙江台州山海协作体·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 4．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·)已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】直线，即，即， 所以斜率为，则该直线的倾斜角为. 故选：A 5．(24-25高二上·辽宁大连第八中学·期中)已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为， 故选：B 6．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)若经过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【详解】由题意斜率， 解得：， 故选：D 7．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 8．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 9．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)直线的斜率为（    ） A．1 B．0 C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线的方程得出斜率即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以斜率为， 故选：B 10．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)设直线的方程为 ，则直线的倾斜角的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率的定义，结合正切函数的单调性即可得到结果. 【详解】根据题意，直线的斜率为，由此得， 又因为，所以结合正切函数的单调性，可得. 故选：D 11．(24-25高二上·天津南开区·)下列说法错误的是（   ）. A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 【答案】D 【分析】根据斜率的概念，截距概念，斜率与倾斜角的关系判断． 【详解】当直线与轴垂直，斜率不存在，A正确； 截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为负，B正确； 由斜率与倾斜角的关系知C正确； 直线l的斜率为1，则它的倾斜角为，D错． 故选：D． 12．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 13．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·开学考)已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 14．(24-25高二上·广东东莞光明中学·期中)已知点、，则过、两点的直线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】已知点、，则过、两点的直线斜率为. 故选：A. 二、非选择题 15．(24-25高二上·青海海南州·期中)过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 16．(24-25高二上·北京大兴区·期中)已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【详解】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 17．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)平面直角坐标系中，直线的方向向量为，则的倾斜角为 . 【答案】 【分析】由方向向量得斜率，从而可求得倾斜角． 【详解】由题意直线的方向向量为， 则直线的斜率，设直线的倾斜角为， 所以，所以的倾斜角为. 故答案为： 地 城 考点02 两条直线的垂直与平行 一、单选题 1．(24-25高二上·河南开封五校·期中)直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 2．(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【分析】利用两条直线平行的条件列式求解. 【详解】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D 3．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线的平行关系求出的值，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】 直线：，：， 若，则，解得或. 当时，：，即=0，：，∴. 当时，：，：，. ∴当时，或 而是或的充分不必要条件. 故选：A. 4．(24-25高二上·河南洛阳创新联盟发展·月考)已知直线与垂直，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得． 故选：C． 5．(24-25高二上·云南长水教育集团·)已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直线斜率之积等于可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项D错误. 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 6．(24-25高二上·广东韶关曲江区曲江中学·期中)若直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D．或0. 【答案】B 【分析】由两直线垂直的关系求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 故选：B. 二、非选择题 7．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 8．(24-25高二上·云南文山州富宁上海新纪元实验学校·期中)已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 【答案】⑤ 【分析】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到； 若，则可能、重合，故不能得到， 所以①②③错误. 若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到； 若，，则， 所以⑤正确，④⑥错误. 故答案为：⑤ 9．(24-25高二上·贵州六盘水水城区·期中)（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 10．(24-25高二上·广西部分学校·)已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 地 城 考点03 直线方程 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 2．(24-25高二上·广东广州育才中学·期中)已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项. 【详解】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为， 又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：， 故选：C. 3．(24-25高二上·广东河源龙川县第一中学·期中)过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据点斜式求解方程. 【详解】直线倾斜角为，斜率，直线点斜式方程为． 故选：D 4．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 5．(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 6．(24-25高二上·山东菏泽·期中)下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况. 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D. 二、多选题 7．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【分析】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D. 【详解】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 三、非选择题 8．(24-25高二上·北京第一五九中学·期中)直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 9．(24-25高二上·四川绵阳南山中学实验学校·期中)直线在x轴上的截距为 . 【答案】 【分析】根据截距的定义计算即可. 【详解】令，得，所以直线在x轴上的截距为. 故答案为： 10．(24-25高二上·广东广州育才中学·期中)直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0即可得出结果. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 11．(24-25高二上·江苏南通海门·)经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 12．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设直线方程为，且， 又直线过点，则，， 所以直线方程为，即． 故答案为：． 13．(24-25高二上·广东东莞光明中学·期中)直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 14．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是. 故答案为： 15．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 16．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 地 城 考点04 直线的交点问题 一、单选题 1．(24-25高二上·山东实验中学·期中)若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 2．(23-24高二下·上海中学东校·月考)已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 二、多选题 3．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点为 B．存在，使 C．若，则 D．直线恒过点 【答案】ACD 【分析】根据两直线方程及位置关系直接判断. 【详解】选项，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，A选项正确； B选项，假设存在，使，则，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即，，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，B选项错误； C选项：若，则，解得，C选项正确； D选项，直线，即， 令，即，所以直线恒过点，D选项正确； 故选：ACD. 4．(24-25高二上·广东佛山顺德区第一中学·期中)已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 三、非选择题 5．(24-25高二上·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)直线与直线的交点坐标为 【答案】 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 6．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线垂直设所求直线，将点代入求参数，即得方程； （2）求直线交点，根据直线平行设所求直线，代入点求参数，即得方程. 【详解】（1）由题意，可设直线方程为， 代入点，有，则， 所求直线方程为； （2）联立，解得， 设所求直线方程为，则，即， 所求直线方程为. 7．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 8．(24-25高二上·天津南开中学·)若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【答案】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ， ，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 9．(24-25高二上·四川自贡田家炳中学·期中)直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 地 城 考点05 点与点、点与直线、直线与直线的距离 一、单选题 64．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 65．(24-25高二上·云南玉溪新平彝族傣族自县民族中学·期中)一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 二、多选题 9．(24-25高二上·广东东莞五校·)过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果. 【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC 三、非选择题 10．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 11．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 12．(24-25高二上·江苏南通海门·)已知三个顶点分别是． (1)当时，求边的高所在的直线方程； (2)若的面积为，求点的坐标满足的关系． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出，即可得到边的高所在直线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）首先求出直线的方程与，设点到直线的距离为，由面积公式求出，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 当时，所以边的高所在直线的斜率， 所以边的高所在的直线方程为，即； （2）因为直线的方程为，即， 又， 设点到直线的距离为，因为的面积为，所以，即，解得； 又，则或，即或， 所以点的坐标满足的关系为或. 13．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)在中，，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上． (1)求边上的高所在直线方程； (2)设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1） 由条件根据中点坐标公式求出C点坐标，由求得，然后利用点斜式求直线方程； （2）方法一：当斜率不存在时，不满足题意；当斜率存在时，设出的方程，依题意根据点到直线的距离公式列出等式，求解即可；方法二：依题意，所求直线与直线平行或过线段的中点，利用点斜式和两点式求解即可. 【详解】（1）设，，， ∵边的中点在轴上，边的中点在轴上， ∴，∴， ∵，∴， ∴所在直线方程为，即. （2）方法一：当斜率不存在时，，不满足题意； 当斜率存在时，设即， 依题意得：， 解得或， 综上所述，直线的方程为：或， 即：或. 方法二：依题意，所求直线与直线平行或过线段的中点， 综上所述，直线的方程为：或， 即：或. 14．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 15．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 16．(24-25高二上·北京广渠门中学·期中)已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程； （2）将直线写成，可求定点，即可证； （3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 17．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 18．(24-25高二上·安徽六安第二中学·期中)平行于直线，且与它距离为的直线方程是 . 【答案】或 【分析】设所求直线方程为，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故答案为：或． 19．(24-25高二上·山东泰安·期中)已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 20．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 地 城 考点06 圆的方程 一、单选题 88．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆心坐标分别代入选项即可判断. 【详解】由圆的方程，得圆心坐标为. A：将代入方程，等式不成立，故A不符合题意； B：将代入方程，等式不成立，故B不符合题意； C：将代入方程，等式成立，故C符合题意； D：将代入方程，等式不成立，故D不符合题意； 故选：C 89．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知圆心在直线上，即可得结果. 【详解】方程表示圆心为的圆， 由题意可知：圆心在直线上， 则，即. 故选：A. 二、非选择题 11．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)以点为圆心，且经过点的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】根据已知求得圆的半径，再根据圆的标准方程即可求解． 【详解】由题意，知所求圆的圆心是，半径为， 故所求圆的方程为， 故答案为：． 12．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)过点，，三点的圆的标准方程为 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆过点，，三点， 所以①，②，③， 由①②得到④，由②③得到⑤， 由④⑤解得，代入①，得， 所以圆的标准方程为， 故答案为：. 13．(24-25高二上·山西晋中榆社中学·期中)已知. (1)求直线BC的方程; (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两点式求出直线方程，化为一般式即可； （2）设出外接圆的一般式方程，代入三个点的坐标，求出答案. 【详解】（1）直线BC的方程为，化简，得. （2）设外接圆的方程为， 将A，B，C的坐标代入，得, 即, 解得 故所求圆的方程为. 14．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知点外接圆的方程是 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 15．(24-25高二上·四川·期中)已知圆过三点，则圆的面积为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的方程为， 其标准方程为，半径， 故其面积． 故答案为： 16．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. 17．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)若圆的半径为2，则 ． 【答案】1 【分析】将圆的方程配方后，结合题意列出方程，求解即得. 【详解】由经配方，可得：， 因圆的半径为2，故，解得. 故答案为：1. 地 城 考点07 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜南实验中学·)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 2．(24-25高二上·江苏连云港高级中学·)圆和圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切. 故选：C. 3．(24-25高二上·福建莆田第十六中学·期中)若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【分析】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 4．(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【详解】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 5．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知圆，一条光线从点处射到直线上，经直线反射后，反射光线与圆有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称关系，转化为过定点的直线与圆有公共点，转化为圆心到直线的距离小于等于半径，即可列式求解. 【详解】点关于直线的对称点，    由题意可得反射光线过点，显然过点的直线与圆有公共点的直线的斜率存在， 设反射光线的斜率为，则反射光线的方程为，即， 圆心到反射光线的距离， 整理可得：，解得. 故选：B. 6．(24-25高二上·山东济钢高级中学·期中)已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 7．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)圆与圆的公切条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】根据题意，判断出两圆的位置关系，即可得到结果. 【详解】的圆心是，半径 圆即，圆心为，半径， ，所以两圆相交，公切线有2条． 故选：B 二、多选题 8．(24-25高二上·云南大理州南涧彝族自治县第一中学·期中)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为，的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】对于A，若点在圆上，则，所以圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则，所以圆心 到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故C不正确； 对于D，因为点在直线上，所以，圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相切，D正确． 故选：ABD. 三、非选择题 9．(24-25高二上·重庆巴渝学校·期中)已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）首先求出的中点坐标及，即可得到圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程，进而可得弦长. 【详解】（1）因为，，所以的中点为，且， 因为圆是以线段为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以圆的方程为； （2）圆的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 所以圆心到该直线的距离， 所以两圆公共弦的长的长为. 10．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 地 城 考点08 圆的切线 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 2．(24-25高二上·山东临沂部分县区·)若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 二、多选题 3．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 三、非选择题 4．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可； （2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程； （3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即. （2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即， 半径， 故所求圆的标准方程为. （3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为， 故所求的切线方程为，即. 5．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·月考)已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 6．(24-25高二上·广东东莞光明中学·期中)已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值. 【详解】设圆心到直线的动点的距离为， 根据点到直线距离公式，. 因为，是圆的切线，所以（其中）. 又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即. 的周长为. 因为是圆的弦，且和全等，所以. 根据三角形面积公式，（其中是圆的半径）， 可得，所以， 则的周长. 因为与均在上单调递增， 所以当时，周长取得最小值. 最小值为. 故答案为：. 7．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】和 【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解. 【详解】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 8．(24-25高二上·吉林实验中学·)若过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】2 【分析】根据两点间距离公式得到，然后利用勾股定理求即可. 【详解】 由题意得圆的圆心坐标，半径，， 则， 所以. 故答案为：2. 9．(24-25高二上·山东菏泽·期中)已知圆与x轴相切，则 . 【答案】 【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案. 【详解】由圆的方程整理可得圆，则圆心，半径， 由圆与轴相切，则，解得. 故答案为：. 10．(24-25高二上·四川巴中第三中学·期中)已知圆，直线与圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点为 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长； （2）根据圆外点作圆的两条切线，切点所在直线即为两圆相交弦所在直线即可求解； （3）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点. 【详解】（1）易知圆心 ，半径，圆心到直线的距离， 所以弦长. （2）根据题意，点在圆外，则过点向圆有两条切线，切点分别为, 则,所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径, 所以圆的方程为，则圆与圆相交弦即为直线， 联立，得， 所以直线的方程为. （3）当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，代入圆方程得：或， 设，则直线方程为， 代入直线得：，故， 因为，所以是的中点，得， 所以，所以直线的方程为：， 即，直线过点. 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即， 设，联立得：， ，解得或， 由韦达定理得： ①，， 所以③，④，且⑤， 将代入直线得：，所以， 是的中点，得，所以， 所以直线的方程为：， 将点的坐标代入并整理，化简得：， 将①③④⑤代入上式得：，显然成立. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)根据圆的切线切点的几何特征求解. （3）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 11．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 12．(24-25高二上·广东领航高中联盟·)已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 地 城 考点09 圆的弦长求解及应用 一、单选题 1．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 2．(24-25高二上·广东深圳深圳大学附属实验中学·)圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解. 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 3．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 4．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)直线与圆相交于M、N两点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知及向量模长的定义，应用几何法求直线与圆的相交弦长即可得. 【详解】由，一般式为， 由的圆心为，半径为2， 所以到的距离为， 综上，. 故选：D 二、非选择题 5．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【详解】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 6．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】将直线按照斜率是否存在两种情况，分别利用垂径定理列方程求解即得所求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时， 的方程为， 此时直线被圆截得弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 因圆心到直线距离， 由垂径定理，弦长， 解得，则直线的方程为. 故答案为：或. 7．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)已知圆，直线恒过定点． (1)求点的坐标； (2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意可得，令，解得即可求出定点坐标； （2）首先得到圆心坐标与半径，依题意可得圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】（1）直线， 即，令，解得， 所以直线恒过定点； （2）圆的圆心，半径， 因为为正三角形，所以圆心到直线的距离； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 8．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 9．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 地 城 考点10 直线与圆的综合 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏无锡江阴六校·期中)已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 二、非选择题 2．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第101中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，圆C：，点P为直线l：上的动点，则（   ） A．圆C上没有点到直线l的距离为 B．已知点，圆C上的动点N，则的最小值为 C．过点P作圆C的一条切线，切点为Q，则可以为30° D．过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】BCD 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再求圆心到直线距离得判断A；由关于对称，得到，即可求最值，注意取值条件判断B；由最大时，只需，进而确定的范围判断C；令，得到都在直线上，结合求定点判断D. 【详解】由的圆心，半径， 则到的距离为，即直线与圆相离， 所以，故圆C上存在点到直线l的距离为，A错； 由关于对称，则，可得， 由，故， 又，则， 当且仅当三点共线时取等号，故的最小值为，B对； 由最大时，只需，此时，即， 所以，则可以为，即可以为为30°，C对； 如下图，令，则， 由在切线上，则，同理， 显然都在直线上，又， 所以，即，易知直线恒过点，D对. 故选：BCD 3．(24-25高二上·福建三明六校·期中)已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆的弦长公式结合点到直线距离公式即可计算求解； （2）求出点Q到直线距离的最大值即可求解. 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 4．(24-25高二上·陕西西安碑林区铁一中学·月考)如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【详解】（1）当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知 ， 所以,即， 所以成立． 5．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示，列式求出，进而求出点到直线距离. 【详解】依题意，直线：，设， 由消去得， 则，，， 于是，解得， 当时，方程中，符合题意， 所以的方程为，原点到直线的距离是. 故答案为： 6．(24-25高二上·广东部分名校·期中)已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)定值， 【分析】（1）设，结合题设列出方程即可求解； （2）设，，，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，进而求解即可. 【详解】（1）设，因为，即， 所以， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）设，，. 联立方程组得， 所以， 则，， 因为 ， 所以， 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为.    7．(24-25高二上·四川南充白塔中学·期中)已知点为线段的中点，，点为圆上动点． (1)求A点的轨迹曲线的方程； (2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为5 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，利用韦达定理及可求出斜率的取值范围，利用斜率公式及韦达定理可求出. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 则，可得， 整理得曲线的方程为. （2）由题意可知：曲线是以为圆心，半径的圆，且直线的斜率存在，    设直线的方程为，，， 联立方程：，消去得：， 因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 则，解得， 又因为， 代入韦达得：， 所以是定值5. 8．(24-25高二上·四川广安友谊中学·期中)平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)①最大值为7；②点N在定直线上. 【分析】（1）设圆的标准方程，根据所过的点列方程求参数，即可得圆的方程； （2）①法一：设直线为，直线为，应用几何法求弦长，结合得到关于k的表达式，应用基本不等式求最值； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，应用几何法得弦长关于、的表达式，结合、基本不等式求最值； ②设，，联立直线与圆得一元二次方程，应用韦达定理并结合直线的方程为，直线的方程为求点N坐标. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）①设直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 若，则直线斜率不存在，则，，则， 若，则直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以S的最大值为7；    ②设，，联立， 消y得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以，所以点N在定直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问中利用圆弦长的几何求法及得到关于某个参数的表达式为关键 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $