精品解析：贵州省惠水民族中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷

贵州省惠水民族中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设（为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A. B. 4 C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 5. 已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 10. 已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 成等差数列 D. 成等比数列 11. 如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（ ）（参考数据：） A. 正方体 B. 正四面体 C. 高是4的圆柱 D. 高是5的圆锥 三、填空题（本大题共3小题） 12. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 13. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 14. 已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则_______. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 16. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 17. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. （1）若中点为，求的面积； （2）若平面，求线段长度的最小值. 18. 记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 设函数. （1）当，时，解方程； （2）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省惠水民族中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知集合，根据并集的定义运算求解即可. 【详解】已知集合，集合， 根据并集的定义：． 故选：A． 2. 设（为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念得解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：A 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数对数函数特征判断大小范围，即可求解. 【详解】因为为减函数，所以，所以， 因为为减函数，，所以， 因为为增函数，，所以. 所以. 故选：B 4. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得. 【详解】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误； 对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确； 对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误. 故选：C 5. 已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得三棱锥中，两两垂直，且，进而三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，进而求解得外接球的半径与表面积，再根据等体积法求解内切球的半径，进而计算内切球的表面积，最后计算比值即可得答案. 【详解】解：如图，依题意知， ，， ，平面， 又平面， 所以三棱锥中，两两垂直，且， 所以三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球， 所以三棱锥的外接球半径满足，则其外接球的表面积为. 因为三棱锥的表面积为正方形的面积，， 设三棱锥的内切球的半径为， 所以由等体积法得，得， 所以内切球的表面积为 所以三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为 故选：C． 6. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的判定与性质即可判断． 【详解】若，，则不一定平行（缺少条件相交）； 若，，则，且， 故“，且”是“”的必要不充分条件， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由平面直角坐标系中，，，可得， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 8. 若，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在上单调递减，求出其导数，分离参数，结合函数的最值，即可求得答案. 【详解】等价于， 即等价于，即等价于． 令， 则条件等价于，当时，， 即函数在上单调递减，即，则． 又，，所以， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项. 【详解】解：因为，则，即， 又为正实数，则，所以，，故A项正确； 因为，所以， 又，所以，故B项错误； 因为，且为正实数，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C项正确； 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误. 故选：AC. 10. 已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 成等差数列 D. 成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数分类讨论求最值，然后数形结合，利用指数与对数之间的转化求解即可. 【详解】对于AB，， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值，即； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意， 由， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值，即； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意， 于是有，因此选项AB正确， 对于CD，两个函数图像如下图所示：    由数形结合思想可知：当直线经过点时， 此时直线与两曲线和恰好有三个交点， 不妨设， 且， 由，又， 又当时，单调递增，所以， 又，又， 又当时，单调递减，所以， ， ，于是有， 且，所以选项C错误，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键. 11. 如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（ ）（参考数据：） A. 正方体 B. 正四面体 C. 高是4的圆柱 D. 高是5的圆锥 【答案】AC 【解析】 【分析】分析几何特征，计算下半部分几何体的体积，分析各选项中几何体外接球半径，与比大小即可确定答案. 【详解】由题意得，正三棱柱由截面分成的上部分为正三棱柱，下部分为直四棱柱，高度相等， 如图，在等边三角形中，分别为的中点， 由相似得与的面积比为， 故正三棱柱上、下两部分的底面积比为，即正三棱上、下两部分的体积比为， ∴. A.设正方体的棱长为，则，得， ∴正方体体对角线为，正方体的外接球半径为， 能放在半径为3的球体内，A正确. B. 如图，在正方体中，由各面对角线相等可得三棱锥为正四面体， 正四面体的外接球与正方体的外接球相同，由选项A可知体积为的正方体恰好能放在半径为3的球体内， 当正四面体的体积为，正方体的体积大于， 此时正方体外接球半径大于，故不能放在半径为3的球体内，B错误. C.如图，设圆柱的底面圆半径为，外接球半径为，外接球球心为，则为圆柱上下底面圆心连线的中点. 由题意得，，∴， ∴，故此圆柱能放在半径为3的球体，C正确. D. 如图，设圆锥的底面圆半径为，外接球半径为，外接球球心为，则点在圆锥的高上. 由题意得，，∴， 由得，，故此圆锥不能放在半径为3的球体，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是分析、计算各选项中几何体外接球的半径，与比大小，即可确定几何体能否放在半径为3的球体内. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为恒成立，后解不等式可得答案. 【详解】因，则，又， 则，即， 因，则， 则不等式恒成立，等价于恒成立. 因，则，则. 注意到的根为， 且，则. 故答案为：. 13. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出． 14. 已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算法则与定义即可得解. 【详解】依题意，连接，如图， 因为是直径，所以， 所以，， 所以 . 故答案为：3. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 ① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. 【小问2详解】 依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 16. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解之可得； 【小问2详解】 根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 17. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. （1）若中点为，求的面积； （2）若平面，求线段长度的最小值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用几何关系求出，从而得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）构造平面平面，从而确定点必在上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值. 【小问1详解】 连接、、， ， ，同理， 是正方形对角线AC中点， ，且， ， 即，则， . 【小问2详解】 法一： 取中点，连接，，， 易得，故四边形是平行四边形， ，又 平面 平面， 平面，同理， 平面 平面， 平面 ，且都在面内， 故平面平面， 则点必在上，且当时，长度最小， ， 由等面积法得：，解得， 故的最小长度为. 法二： 取为一组空间基底，则，， 平面， ，代入整理得， 故， 动点在平面内， ， ， 故， 当且仅当时，有最小值为. 法三： 由第一问知，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， ，， 同理， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设点，， ，即， 故， 当且仅当时，有最小值为. 18. 记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】选择①，面积的取值范围为. 选择②，面积的取值范围为. 【解析】 【分析】选择①，由正弦定理求出，再根据三角形面积公式求出面积的表达式，消去角，得到角三角函数，利用三角恒等变换化简结合角的范围求得结果； 选择②，由正弦定理求出，代入面积公式，消去角，化简表达式结合角的范围求得结果. 【详解】若选择①，由正弦定理，， 同理， ， 又为锐角三角形，，，， 解得， ，即， 所以， 所以面积的取值范围为. 若选择②，由正弦定理，， ， 又为锐角三角形，，，， 解得，，即， ， 所以面积的取值范围为. 19. 设函数. （1）当，时，解方程； （2）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3）当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）直接解方程即可； （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，分情况讨论时与时不等式情况，可得参数范围； （3）分情况讨论分段函数的单调性与最值情况，可得参数范围. 【小问1详解】 当，时，， 所以， 即或， 解得或， 即或； 【小问2详解】 当时，， 所以不等式在上恒成立， 即为不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，即， 当时，不等式可转化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递增， 所以， 所以，解得， 即的取值范围为； 【小问3详解】 在区间上有解，即方程在上有解， 设， 当时，在上单调递增， 所以，， 则当时，原方程有解，即； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调增； ①当，即时，，， 则当时，原方程有解，即； ②当，即时，，， 则当时，原方程有解，则； ③当时，，，， 当，即时，， 则当时，原方程有解，即； 当，即时，， 则当时，原方程有解，即； 综上所述：当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $