第27章　相似专题练习-2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

相似 专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下面四条线段是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查线段成比例的知识，解题的关键理解并掌握成比例线段的性质．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．据此即可获得答案． 【详解】解：A、因为，所以不成比例，不符合题意； B、 因为，所以不成比例，不符合题意； C、 因为，所以成比例，符合题意； D、因为，所以不成比例，不符合题意． 故选：C． 2．已知（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3．如图，四边形和相似，则和的大小分别为（    ） A．  30 B．  33 C．  30 D．  33 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出对应角相等及对应边成比例即可得出答案． 【详解】由图可知，，，，，，， 四边形和相似， ，, 即, , 故答案为：D． 4．如图，，点，分别在上，，，的长（） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】解：∵， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在矩形中，，点分别在、边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（    ） A．20 B．18 C．12 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：矩形矩形，且面积比为， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选A 6．如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． A、∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴，则此项不符合题意； B、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； C、对应的夹角是和，因为由已知条件无法得出，所以此项不能判定和相似，符合题意； D、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； 故选：C． 7．如图，在中，M为上一点，且，过C作，且满足．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解一元二次方程，证明是解题的关键．设，证明，得到，再分别对，，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 故选：B． 8．如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积．首先根据平行四边形的性质可证且相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，从而可求的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 9．如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 二、填空题 10．已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的定义：如果、，三个量成连比例，即，叫做和的比例中项．（内项要相等时才称为比例中项），比例中项又称“等比中项”或“几何中项”，即可． 【详解】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 11．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 12．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，与是位似图形，且，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，相似比为：； ∴与的面积比为； 故答案为：． 14．如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知，，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解题的关键是找出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律． 【详解】四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为， 矩形的面积和矩形的面积的比，    ， ， ， 故答案为：. 三、解答题 16．如图，已知：中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，进而可得，再利余角的性质得，可证，得，即可证明结论，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】证明：∵中，，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵于点， ∴， ∴中，， 又∵中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，是的斜边上的高，若，求的长． 【答案】 【分析】证明，列比例式解答即可． 本题考查了直角三角形中的三角形相似的证明，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：是的斜边上的高， 即， 18．（1）解不等式． （2）如图，在中，D、E在边上，，，，，求的长度． 【答案】（1）． （2） 【分析】(1)按照解不等式的基本步骤解答即可． (2)根据三角形相似的判定和性质，列出比例式计算即可．本题考查了解不等式，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】(1) ， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ． (2)∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得, 故的长度是． 19．如图，在矩形中，E为的中点，，垂足为E，并与交于点F，连接（）． (1)若，，求的长； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，由为的中点可得，于是可得，由此即可求出的长； （2）设，，由为的中点可得，由（1）可得，于是可得，进而可得，由勾股定理可得，，由（1）可得，且，即，于是可证得，由相似三角形的性质可得，于是结论得证． 【详解】（1）解：四边形为矩形，且， ，，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ； （2）证明：设，， 为的中点， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又，， ， 即：， ， ， 即：平分． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，线段中点的有关计算，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $相似专题 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.下面四条线段a,b,c,d是成比例线段的是() A.a=1,b=2,c=3,d=4 B.a=2,b=4,c=6,d=8 C.a=4,b=6,c=8,d=12 D.a=V2,b=5,c=3,d=√6 2.已知2a=36(6+0),则0-b=（) b A司 B. D 5-2 3.如图，四边形ABCD和EFGH相似，则a和x的大小分别为() H 22 D E10° 24 16 B人75o 80°△C A.75°30 B.75°33 C.80°30 D.80°33 4如图，4D/BE/CF点B,E分别在AC,DF上，AEP=6,DE的长() A.3 B.4 C.5 D.10 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,点EF分别在AD、BC边上，且EF⊥BC,若矩形 ABFE∽矩形DEFC,且面积比为1：9，则AD长为() A E D ▣ A A.20 B.18 C.12 D.9 试卷第1页，共3页 6.如图，点D、E、F分别在等边ABC的三边AB、AC、BC上，且DE⊥EF,那么补 充下列条件后不能判定BDF和△CFE相似的是() B A.ZDFE=60 B.ZDFB=ZEFC C.bof D. BD BE FCFE CF CE 7.如图，在Rt△ABC中，M为AB上一点，且LBCM=LBAC,过C作CE⊥AC,且满足 CE=CM.若BM=1,AE=6,则AM=() E M A.3 B.4 c.5 D.6 8.如图，在口ABCD中，E是边CD的中点，AE交BD于点O,如果△DOE的面积为1，那 么△AB0的面积为() D A.2 B.4 C.6 D.9 9.如图，已知直线，Z,分别截直线于点A,B,C,截直线1于点D,E,F,且 1∥4∥I3.如果AB:BC=2:3,DF=10,则EF的长为() /l4 D A E 试卷第1页，共3页 A.4 B.6 C.7 D.8 二、填空题 10.己知线段a=3,b=6,线段c是线段a、b的比例中项，那么线段c的长是 11.在ABC中，AB=9,BC=7,点D在边AB上，且BD=2,点E在BC上，当BE= 时，以B,D,E为顶点的三角形与ABC相似. A B 12.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠 近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为」 A D C 13.如图，△AB,C,与ABC是位似图形，且OC,:C,C=2:1,则△A,B,C,与ABC的面积 比为 14.如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE=BF=DG,连 接CE、FG,交于点，奥果4E:8E=12,那么9值为一 15.如图，在矩形ABCD中，AB=1,CB=2,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方 试卷第1页，共3页 向作矩形ACC,B,,使矩形ACC,B,相似于矩形ABCD;再连接AC,以对角线AC,为边，按 逆时针方向作矩形ACC2B2,使矩形ACC2B2相似于矩形ACC,B,;按照此规律作下去.若 矩形ABCD的面积记作S,矩形ACC,B,的面积记S2,矩形ACC,B2的面积记作S3,.,则 S2024的值为_ C C2 BB B2 A 三、解答题 16.如图，己知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作 AE⊥CD于点H,AE交CB于点E,求证：AC2=CE·BC. 17.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若AD=5,AB=15,求AC的长. B D 18)都不等式2-1 2 (2)如图，在ABC中，D、E在边AB、AC上，DE∥BC,DE=3,AC=5,EC=1, 求BC的长度. 试卷第1页，共3页 D B 19.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC,垂足为E,并与AB交于点F, 连接FC（AB>AE). D C B (1)若AB=6,AD=4,求AF的长； (②)求证：FE平分∠AFC. 试卷第1页，共3页