精品解析：广东省深圳市罗湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷

2020-2021学年深圳市罗湖区七（下）期中数学卷（原卷） 一、选择题．（每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 科学家借助电子显微镜发现新型冠状病毒的平均直径约为米，则数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中，的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（   ） A. B. C. D. 7. 如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，这样做的理由是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 两点确定一条直线 8. 如图，在四边形中，要得到，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 9. 已知x+y﹣3＝0，则2x×2y的值为（　　） A. 64 B. 8 C. 6 D. 12 10. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是AD的中点，点P在矩形的边上，从点A出发，沿A→B→C→D运动，到达点D运动终止．设△APM的面积为y，点P经过的路程为x，那么能正确表示y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共12分） 13. 若是一个完全平方式，则的值是 ______ ． 14. 如果一个角的余角等于它本身，那么这个角的补角等于__________度. 15. 点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系式________． /分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 16. 如图是由四个相同的长方形拼成的一个大正方形和一个小正方形，设小正方形的面积为，大正方形的面积为，每个长方形的面积为．若，且，则______． 三、解答题．（本题共7小题，其中第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题7分，第23题9分） 17. 计算： （1）； （2）．（要求用公式简便计算） 18. 先化简，再求值： [（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y），其中x＝6，y． 19. 如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC＝∠A． (1)用尺规作出∠EBC．(不写作法，保留作图痕迹，要写结论) (2)EB与AD一定平行吗？简要说明理由． 20. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， （________）， （等量代换）． （________）． ________（________）． 又（已知） ________（等量代换）． ________________（________）． （________）． 21. 小明家距离学校8千米，今天早晨小明骑车上学途中，自行车突然“爆胎”，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他加快速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象，该图描绘了小明行驶路程s与所用时间t之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小明骑车行驶了 千米时，自行车“爆胎”；修车用了 分钟． （2）修车后小明骑车的速度为每小时 千米． （3）小明离家 分钟距家6千米． （4）如果自行车未“爆胎”，小明一直按修车前速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟． 22. 已知． （1）______； （2）求的值； （3）求结果的个位数字． 23. 珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． （1）填空： °； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年深圳市罗湖区七（下）期中数学卷（原卷） 一、选择题．（每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，所以本选项计算错误，不符合题意； B、，所以本选项计算正确，符合题意； C、，所以本选项计算错误，不符合题意； D、，所以本选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是关键． 2. 科学家借助电子显微镜发现新型冠状病毒的平均直径约为米，则数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：D 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 3. 下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意； 选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意； 选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意； 只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角的意义，掌握同位角的意义是正确判断的前提． 4. 下列各式中能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平方差公式运算的多项式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，即可求得答案． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故选项A符合题意； B、，不符合平方差公式，故选项B不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D、，不符合平方差公式，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 5. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中，的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算，余角与补角的计算．根据不同摆放方式，逐项得出与的数量关系，即可判断． 【详解】解：中，，不能得出； 中，与为同一个角的余角，能得出； 中，与为等角的补角，能得出； 中，，不得出； 综上可知，的图形有2个， 故选：B． 6. 如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，并作出适当的辅助线是解题的关键．由题可得，，，设，相交于点G，过点G作，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题知，，， ， 如图，设，相交于点G，过点G作，则， ，， ， ， ． 故选：B． 7. 如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，这样做的理由是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．掌握垂线段最短是银题的关键． 根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， 过点作于点，这样做的理由是垂线段最短． 故选：B． 8. 如图，在四边形中，要得到，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵∠1=∠3， ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)， 不能得出AB∥CD， ∴A不可以； ∵∠2=∠4， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)； ∴B可以； ∵∠B=∠D，不能得出AB∥CD； ∵∠1+∠2+∠B=180°， ∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)， 不能得出AB∥BC； ∴C、D不可以； 故选B． 9. 已知x+y﹣3＝0，则2x×2y的值为（　　） A. 64 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先对已知变形为x+y＝3，再进行同底数幂的乘法的运算，把x+y＝3整体代入可得出答案． 【详解】由已知x+y﹣3＝0，得x+y＝3， 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，利用整体代入法是解题的关键． 10. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式计算求解判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D.，故此选项不符合题意； 故选：B． 11. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是AD的中点，点P在矩形的边上，从点A出发，沿A→B→C→D运动，到达点D运动终止．设△APM的面积为y，点P经过的路程为x，那么能正确表示y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据三角形的面积公式，分类讨论：P在AB上运动时，三角形的面积在增大，P在BC上运动时，三角形的面积为不变；P在CD上运动时，三角形的面积在减小． 故选：Ａ． 12. 如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠性质可得∠3=（180°-∠1）÷2，再根据平行线性质可得． 【详解】由折叠性质可得∠3=（180°-∠1）÷2=（180°-α）÷2 由长方形对边平行可得∠1+∠2+∠3=180° 所以∠2=180°-∠1-∠3=180°-α-（180°-α）÷2= 故选：C 【点睛】考核知识点：平行线性质．理解折叠性质和平行线性质是关键． 二、填空题．（每小题3分，共12分） 13. 若是一个完全平方式，则的值是 ______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出结论即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 即， 故答案为：或． 14. 如果一个角的余角等于它本身，那么这个角的补角等于__________度. 【答案】135 【解析】 【分析】根据互余两角和为，由题意可得出这个角的度数，再根据两个互补的角和为求解即可． 【详解】解：设这个角为，由题意可得，，解得，， ∵， ∴这个角的补角等于135度． 故答案为：135． 【点睛】本题考查的知识点是余角和补角的概念定义，掌握余角和补角的概念定义是解此题的关键． 15. 点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系式________． /分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 【答案】 【解析】 【分析】由表格可知，时间每增加2分钟，蜡烛的高度减少，再根据蜡烛原长为，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，蜡烛原长为，时间每增加2分钟，蜡烛的高度减少， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用表格求函数解析式．从表格中准确的获取信息，是解题的关键．16. 如图是由四个相同的长方形拼成的一个大正方形和一个小正方形，设小正方形的面积为，大正方形的面积为，每个长方形的面积为．若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意知确定各图形面积之间的数量关系． 由题意知，由，，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知， 由∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题．（本题共7小题，其中第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题7分，第23题9分） 17. 计算： （1）； （2）．（要求用公式简便计算） 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂的计算方法、绝对值的意义、负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）运用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了零指数幂的计算方法、绝对值的意义、负整数指数幂的运算法则、平方差公式等知识，掌握零指数幂的计算方法、负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键． 18. 先化简，再求值： [（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y），其中x＝6，y． 【答案】x﹣3y；7 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y） ＝（x2﹣9y2﹣x2+6xy﹣9y2）÷（6y） ＝（6xy﹣18y2）÷（6y） ＝x﹣3y， 当x＝6，y时， 原式＝6﹣3×（）＝6+1＝7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 19. 如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC＝∠A． (1)用尺规作出∠EBC．(不写作法，保留作图痕迹，要写结论) (2)EB与AD一定平行吗？简要说明理由． 【答案】(1)如图 (2)EB与AD不一定平行． 【解析】 【分析】分两种情况：①根据同位角相等两直线平行，过D点作AD的平行线即可．②当所作的角在BC下方． 【详解】解：(2)EB与AD不一定平行． ①当所作的角在BC上方时平行．∵∠EBC＝∠A， ∴EB∥AD． 当所作的角在BC下方，所作的角对称时EB与AD就不平行． 【点睛】此题主要考查学生对平行线的判定和尺规作图相关知识的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 20. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， （________）， （等量代换）． （________）． ________（________）． 又（已知） ________（等量代换）． ________________（________）． （________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，对顶角，熟练的利用平行线的判定与性质解决问题是解本题的关键． 根据对顶角的定义，等量代换，平行线的判定和性质进行填空即可． 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知） （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 21. 小明家距离学校8千米，今天早晨小明骑车上学途中，自行车突然“爆胎”，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他加快速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象，该图描绘了小明行驶路程s与所用时间t之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小明骑车行驶了 千米时，自行车“爆胎”；修车用了 分钟． （2）修车后小明骑车的速度为每小时 千米． （3）小明离家 分钟距家6千米． （4）如果自行车未“爆胎”，小明一直按修车前速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟． 【答案】（1）3；5；（2）20；（3）24；（4）分钟 【解析】 【分析】（1）通过图象上的点的坐标和与x轴之间的关系可知他在图中停留了5分钟； （2）利用图象得出速度即可； （3）实质是求当s=6时，t=24； （4）先算出先前速度需要分钟，作差30-=即可求解． 【详解】解：（1）小明骑车行驶了3千米时，自行车“爆胎”，修车用了5分钟． 故答案为：3；5； （2）修车后小明骑车的速度为每小时千米． 故答案为：20； （3）当s=6时，t=15+=24， 所以小明离家后24分钟距家6千米． 故答案为：24； （4）10分钟=小时， 由题意可知，修车前的速度为3=18千米/小时 修车前需要的时间8÷18=小时=分钟， 30-=， 答：他比实际情况早到早到分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是准确识图，从图象获取必须的信息． 22. 已知． （1）______； （2）求的值； （3）求结果的个位数字． 【答案】（1）15 （2） （3）0 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律是解本题的关键． （1）根据平方差公式求出即可； （2）添加上，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案； （3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； ，，，，，， 可知的个位数呈3、9、7、循环， ， 的个位数是1， 的个位数是0． 即结果的个位数字是0． 23. 珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． （1）填空： °； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60 （2）当秒或110秒时，两灯的光束互相平行 （3）， 理由：设灯射线转动时间为秒，     ， ， 又， ，而， ， ：：， 即． 【解析】 【分析】（1）根据，：：，即可得到的度数； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出：：，据此可得和关系不会变化． 【小问1详解】 ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 设灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ， ， ， ， ， 解得 ； 当时，如图， ， ， ， ， 解得 ， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $