1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第二课时课件-2025-2026学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

人教版选择性必修第一册 2空间中直线、平面的平行 练习 书本P29 3. 在长方体ABCD –A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2. 以D为原点, 以 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角 坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 2 直线的方向向量和平面的法向量的求法 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 ① 设平面α的法向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解. ① 找到l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. ② 求平面α内的两个不共线向量 总结 温故 l n u n1 n2 空间中的平行 线线平行 线面平行 面面平行 4 新知 1. 线线平行 l1 l2 （注：此处不考虑线线重合的情况） 图1.4-8 新知 2. 线面平行 图1.4-9 (注：特别强调直线在平面外.) 新知 3. 面面平行 图1.4-10 1.直线与直线平行 设分别是直线的方向向量， 2.直线与平面平行 设是直线的方向向量， 是平面的法向量，则 l n u 设分别是平面的法向量，则 3.平面与平面平行 n1 n2 总结 图1.4-11 例2： 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 典例 书30页 例： 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. C D A1 B1 C1 D1 A B S R M N 线线平行 典例 典例 例： 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是面AB1，面A1C1的中心.求证: EF//平面ACD1. A D C B A1 D1 C1 B1 F • E • 书31页练习3 线面平行 例：如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC． B A C D P E F G x y z 典例 面面平行 利用空间向量证明线面平行的方法 方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示. 方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证. 方法三:先求直线的方向向量,再求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 总结 典例 书30页 图1.4-12 练习（教科书第42页习题1.4第3题） 证明 练习（教科书第42页习题1.4第4题） 证明 练习（教科书第42页习题1.4第4题） 证明 练习（教科书第44页习题1.4第12题） 证明 练习（教科书第44页习题1.4第12题） 证明 总结 如图，在平行六面体中，E是AB的中点，F是的中点． 求证：． 由题知：， ， 所以，即 所以 如图，在四面体ABCD中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上，且．求证：平面BCD． 设，因为M是AD的中点，P是BM的中点， 点Q在线段AC上，且， 所以 ， 如图，在四面体ABCD中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上，且．求证：平面BCD． 所以， 因为平面，所以是平面的法向量，，所以， 因为平面，所以平面 如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱 ，，上，；点P，Q，R分 别在棱，CD，CB上，． 求证：平面平面PQR． 构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示， 设，又，， ∴，，，，，， ∴，，，， 设是面的一个法向量，则，令，， 设是面的一个法向量，则，令，， ∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证. 如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱 ，，上，；点P，Q，R分 别在棱，CD，CB上，． 求证：平面平面PQR． $