亲爱的同学们，大家好。今天咱们来继续更新高中数学必修第一册同步提高班视频系列专栏课的第七个专题中的第二个题型，含参函数的单调性问题。今天咱们主要来通过一道例题来阐述一下含参函数的战略性的一些问题的常见解法。当然了，含餐的函数的单性问题不仅仅局限这一道例题，它有很多的变形题。等到后面的一些题型我们会逐一讲到。今天咱们只是以这个题型2，这个例题1-4来阐述一下有关单调性，含参函数的单调性的判断问题。我们先看一下这个出生地，1-4大家可以先思考三分钟。好，我们来看一下这道题的具体的证明过程，判断并证明函数FX等于AX方加上XX分之1。其中这里告诉我们A的范围是1到3，在1到2上的单调性，还有一些题目是告诉我们它单调性求含参的参数的取值范围。那么这类题型尤其是在高考中等，大家到了高二之后学导数部分，它是经常出现的一类基金。好，下面我们来通过定义法来解决这样一个问题。什么是定义法呢？就是在区间内任取两个值X1X2，通过判断FX1和FX大小关系来判断函数在该区间上是单调增还是单调减？首先咱们来看一下，我们首先认取，我们先写个解字，我们任取或者你们用那个符号倒写的A字也可以。任取X1小于X2，那么这两个值都在1到2范围之内。我可以这样来写，X一大于等于一，X2是小于等于2。你只要写这个式子，这里面我们就可以。当然了，如果说你是任取，你就写X1X2，且满足这样一个条件就可以了。如果说你要是这种想法，就是任取X1X2且满足这个关系式，或者你直接写个设这个关系也可以。好，我们做差则有FX2减去FX1，等于A倍的X2的平方加上一个X2分之1。减去FX1，我们可以写成A倍的X1的平方再加上一个X1分之1。好，然后我们分组分解法将这两个做差的代数式进行因数分解。第一项和第三项合并到一起提个A出来，我们可以写成A倍的X2方减去X1的平方，那么加上一个X2分之1减去一个X1分之1。好，下面我们对前面进行分解因式可以写成，根据平方差公式可以写成A倍的X2加X1乘以X2减去X1加上一个通分X1，X2分之X一减去X2。好，下面我们分组分解。那么第一个因式和第二个因式有一个共同的因式，就是X2减X1。我现在把它提出来，提出来之后，第一项我们就只剩下A倍的X1加X2。那么后面提个X2减X一之了之后，它有一个负一，所以说就是减去X1X2分之一。好，我们继续对后面这样一个较为复杂的因式进行变形。前面保持不变，就第一个因素保持不变。第二个因素我们通分写成X1X2分之A倍的X1X2乘以X1加X2，然后减去一个一好，下面我们来做一个分析，我们看能不能判断出来。因为。X1小于X2，大于等于一，小于等于2。所以X2减X1肯定是大于零的。X1X2肯定是大于等于一小于等于四的。就是大于小的乘小的，就两个同时接近一的时候，它是最小的对吧？所以说这里其实还不能带等号，因为X1X2不相等，这边肯定是小于四的。比如你X2取2的时候，X一肯定是小于二的，所以说应该是1到4之间才更为准确。那么同样，X1加X21样的，它是大于一小于4，这个比较好判断。好，那么现在我们来看一下，所以这个X1X2再乘以一个X1加上X2，那么它的范围一定是大于一大于小的乘小的，小于大的乘大的，一定是小于十6，这是我们大概判断的一个范围。好，下面我们来看一下，因为A的范围是什么呢？大于一又因为你A的范围是大于一小于三的。大家看上面我画双横线的这个整体代数式是比一大，而这个A也比一大。那么两个乘积一定比较大，所以A倍的X1X2乘以X1加X2，这个一定是大于一的。所以我们可以得到FX2减去FX一这个因式一定是大于零的。所以我们可以推出FX2一定是大于FX1。所以FX在。1到2上这个是递增量。这个我们就把它判断完了。好，我们大概分析一下这一类题型的解法。如果说是含参的，你们可以用定义法直接这样来判断就可以了。当然这种方法实际上在咱们平时的考试过程当中，它其实还不是特别的常用。但是作为解答题，它确确实实也是一种证明的方法。好，这是这是对于我们现阶段还没有学过导数的导数的这个同学，可以用这种方法来判断并证明一个函数在某一个区域当中的单调性，或者证明它是单调递增的。像这一类题型也不是唯一一种好的方法。那么下面我们来巩固一道题，大家看一下防尘训练一个四这样一道题。第一问我们来看一下，若A等于负二是正FX在负传达到份上是正的几的？如果已经购买过这个专栏课的同学，可以将视频暂停。暂停之后你们可以直接做做完之后再恢复这个视频播放。再看一下我的讲解过程，我们首先来看第一问，那么对于第一问我们看怎么证这个，我们仍然是可以用定义法来证，我们将这个负二代取。那么这个时候我这个FX可以变成，当A为-2的时候，FX就变为了X加二分之X当然我们可以分离常数，分离常数就是我上面加个二之后，然后我们再减个2除以X加2，这个就变成一减去，或者我们写成一加上X加二分之-2。实际上这个函数，它其实是由反比例函数Y等于X分之2X-2，向左平移两个单位变成了Y等于X加二分之-2。然后再向上平移一个单位变成Y等于一，加上一个X加二分之-2。那么它的草图是什么样子的？我们来看一下，这个是第一种方法，适合做这个选择题，我们可以这样来写，大家可以看到我们这个X分之-2，我们这是在二四象限的。那么它这个图像向右向向左平移两个单位，然后再向上平移一个单位。这个时候原来XY轴是渐近线，那么现在变成了如图所示的X等于-1X等于-2和Y等于一这样两条渐近线。而且它是经过很明显，它是经过00这1个点了，是经过00了，这个是它平移后的草图，由这个图像我们可以看出来，它在复制那个分儿一定是单调递增的这是做选填，可以直接快速来根据图像来解就可以了。实际上像这种分式函数都是由反比例函数平移得到的，这个大家一定要能理解。它的定义域就是X不等于-2，值域就是Y不等于一，由图像也可以看出来。如果说我们要证明的话，我们还可以用定义法来证，还是一样的。我们不妨设跟刚才一样，我们不妨试X1小于X小于-2则FX2减去一个FX1FX2我们可以写成一加上一个X2加2分之分。这是FX2减去FX1，我们可以写成一加上X1加2分之分，这是做差。做差之后我们来看，我们现在可以写成X1加2分之2减去X2加2分之2，一和一抵消。只不过我把这个后面负负变成正的写到前面来，把这个复制前面负号写到这里来，然后我们进行通分。那么通过下面写成X1加2乘以X2加2，那么上面这边就是两倍的X2加2减去2倍的X1加2。好，我们把它整理一下，X1加2乘以X2加2，那么2乘以4消掉，或者把二提出来，X2加2减去X1加2就是两倍的，X2减X一好，这个时候我们就可以判断了。所以已知因为X2大于X1就大于零的，下面两个都是横正的，横负的两个负号相乘很很正的，所以这个一定是大于零的。所以我们可以得到FX2，那么就大于FX1，所以再把它打一下，就是FX在负穷大到负二上单调地震。好，我们就把这个解决完了。我们看第二问，就是说当A大于零的时候，FX在一到正向单调递减，求A的范围。大家看啊，我这个第二问，一般来说考试的时候出的都是选填。我们可以看一下这个草图，我们可以把这个函数进行分离偿付。我上面配出一个X减一出来，我要减个一，然后我们再加个一。好，这个就整理成一加上一个X减A分之A所以A这个A它肯定不能为零，而且A是大于零的。既然A是大于零的，我们看啊随着这个区间一定是从A处一分为二的。既然是一分为二，很明显这个FX在A到正的无穷大上，注意是在A到正的无穷大上，它一定是递减的。那么负无穷大到A上也是递减，两个都是单调递减的。实际上它它反映的这个草图，跟刚才一样的，它都是由反比函数Y等于X分之一平移得到的图像。你们看这个就是X等于一，它同样就是这一段和这边的这一段两段。所以说你要保证一到中心大道是耽几年，那你一只能在这里，或者一和A刚好重合也可以。因为你这个是个开机，它这个位置也是一个开机两个开机，就A和一相等也可以，其实只需满足这个A小于等于一即可。当然还有个条条件，条件是大于0，所以最后A的范围就是单名小于B好，那么今天的这一个小题型的这一类L性的问题我们就讲到这里。主要是依靠定义法，还有就是我们所说的基本初等函数加减乘除的一个证明的方法和图像法，来综合判断求解这一类含参的问题。好，今天的视频课就上到这里，感谢大家的收看，下一期我们再见。