亲爱的同学们，大家好。今天咱们继续来更新高中数学必修第一册同步提高班视频系列专栏课专题六的第八个方法，利用数形结合来求函数的值域。这个方法是咱们高考的重点重中之重图像如果说不会，那你很多的考题都做不出来。下面咱们以除尘D8为例，来讲一下这类方法的应用。已知二次函数FX是等于AX方加BX这是二次函数。大家看对于F1加X等于F1减X的形式，我们知道这个函数FX它一定是关于直线X等于一对称，或者是你们直接把这个带进来应解也是可以的。第二个条件是FX等于X有两个相等实数根。大家可以看一下，对于二次函数有两个参数，AB两个条件可以列两个方程，刚好可以将该函数解析式给解出来。那么若函数FX在定义域MN上对应的值域为2M到2N求MN的值。好，我们来看一下具体的解法。我们先写一个解字，由F1加X等于F1减X。得得这个对称轴FX的图像。关于X等于一对称。所以我们会有负的2A分之B它是等于正一好，我们再把这个方程写一下，这个方程FX那么就等于由FX等于X得。得到AX方，把X移过来就加上一个B减一倍的X这个是等于0。我们看既然有两个相等实数，这个德耳塔是等于零的，这个德尔塔就等于B减一的平方，减去4乘A乘以0，这个是等于零的，所以说我们可以推出这个B是等于一，由这个可以推出B等于一。B既然等于一了，那么这个A就等于负的2分之1，这个A就等于负的2分之1，所以这个FX几次就变成了负的2分之1，X方再加上一个X好，下面我们来画一个草图，来做个简单的分析。我们要画草图画在这个左边。它是经过02这样一个点，0200和20这2个点就是与X轴的焦点，这个是X等于一，就是揉一处对应的函数值，我们把它带进来，一处对应的最大值就是-2分之1加1，那就是正的2分之1，这个是正的2分之1，这个是最大值的，这个是Y轴，这个是X轴，这个是圆点。好，我们看一下这里面它的二次函数解析式是给定的，就说明二次函数的图像是定的区间在动。那我们就分三种情况来讨论。第一类情况，我们看一下当区间MN在对称轴的右侧一类情况，也就是当一小于等于M小于N的时候的第一类情况。此时FX在M到N上，我们知道很明显它是单调递减了，由图像可以看出来单调递减，接受单调递减。所以我们可以得到FM是最大值，那么最大值就等于2NFN是最小值就越大它就越小，是等于2MG。G我把这个带进来，FM就是负的2分之1M方加上一个M就是FM等于2N负的FN就是负的2分之1N方加上一个N等于2M，这个是一式，这个是二式。我们看一下这个怎么解，大家注意不要用代入消元，我们直接做差，我们用一式减二式，一式减二式得我把-2分之1提出来，那么就变成M方减去一个N方，加上一个M减N等于二倍的N减，就把它移过来有三倍的对吧？好，所以说-2分之1倍的M加N乘以M减N然后我们再减去个谁呢？减去一个，不是加上一个三倍的M减N等于0，因为M和N不相等的，所以说可以把MN消掉，M减一消掉。M减一消掉之后可以得到-2分之1倍的M加N加三等于0，所以说可以此时推出得到M加N等于6，然后把M加N等于六再带入到所以说我们先减MRN就等于6减M然后我们把它代入一式，得代入一式，得到-2分之1M方加上一个M等于2N，那就是二倍的六阶M好，我们把它整理一下，得到负的2分之1M方加上一个3M减去12等于两边同时乘以-2M方减6M加上24等于0。大家可以看一下这个delta叫德耳塔，它是小于零的，就是无根，这没有解的，所以第一类情况是没有解，那我们再看第二类情况。第二类情况就是当如果说电流在这之间，大家看啊如果M在这里，N在这里这类情况的时候，当M小于一小于等于M时，小于等于N时，小于等于N的时候，这个时候很明显最大值是在一处取的，你最大值就是2分之1，你定投之后可以取到，所以说值域这个最大值是2N，所以说可以得到2N就等于2分之1。此时的N等于4分之1余N大于等于一矛盾，所以与N大于等于一矛盾，故不存在。那这种情况他根本就不存在，那还那看来还有第三类情况，只有第三类情况存在了。我们看啊第三类情况当N小于一的时候，N小于一我们看啊它这个区间就跑到这边来了，这边是M这个值是N所以说此时FM那FX在M到N上单调递增，所以我们可以得到FM等于最小值2MFN等于最小值2N你们看啊这一次和二次是同解方程的，接受同解方程就相当于FX等于2X对吧？所以说我们把这个整理一下，GMN为FX等于2X的两根，这个技巧很重要。首先把它整理一下，就是负的2分之1X方加上一个X等于X所以说可以解出可以解除。这个移过来就是负的2分之1X方减X等于0，所以说可以解出一根是零，那么一根是零，另外一根就是-2，另外一根它就是-2。所以说此时的M等于分证明符合最后的题。综上可知最后的这个答案就是-2和0，这是储存。第八有一点复杂，这是二次函数里面较难的一类题型。下面咱们再巩固一道题，这是一个新定义的题。已知定义计算A心B等于A也就是说A小于等于B的时候取的是AA大于B的时候取的是B那么比如说你一星二，一星二，那就相当于取这两个的什么值呢？最小值那不就一吗？好，那下面我们来先对这个函数按照定义，我们来把它先把解析式写成分段函数形式。由题已知这个FX我们可以转化成，我们看如果取负X方的时候就写负X方就是A，那么这个时候它就一定有这样一个不等式，就是负X方小于等于谁呢？X取负X方，如果它对应是BX的时候，那就是负X方大于X即它就等于负X方。好，我们解这个1元2次不等式，把它移过来，就是X方加上一个X大于等于0，那一根是零，一根是负一。所以说这个就大于等于大的一根或者是小于等于小的一根。那么如果对应X刚好是它的补集，位于就是它小于零取两根之间，那么就是大于负一小于0。好，现在既然是数形结合，那刚才我们也是画了图，接受数形结合，我们就用图像来解，我们来画出这个FX图像。所以高中画的图一定要做到什么呢？画草图。但是你要做到草图不炒，什么意思呢？就是关键的点，关键的线必须要画到位，叫做炒出不炒。我们先建立一个平面直角坐标系，这个是Y轴原点。X轴有几个关键的点，一个是负一，还有一个是零。我们看对于-1到0之间，我们是用开口方向向下的一个抛物线，不是那-1到0之外我们对于Y等于X方，我们的图像是开口方向向下的抛物线，这是它的，我们先画虚线，然后再大于等于零这一段，我们把它加粗，大家看我这个加粗一下，这是大于等于零部分图像，还有小于等于负一。你们看我们说为什么叫草图不炒呢？这个点是负一，负一处此时是个实心的此时是实心的。负一处对应的这个函数值，那么它就是负一来，我们把这一段也画成实线，这两段实现就是第一段。那么第二段是-1到0，取负一时候还是负一取零等于0。我们把这一段用直线连接起来，用直线最后的呈现就是一段抛物线，中间以一条线段，然后再弯下来就可以了，这是它的操作。有这个图像我们可以知道这个值域，通过观察就可以得到它的值域是零到正琼的。所以大家一定要会看图，因为这是提高班视频课，相信如何看值域应该是懂的。就是图像上所有点的纵坐标的取值集合就是值域，横坐标取值集合就是D。那么这个数形结合方法的两道经典的习题我们就讲到这里，下面我们简单的做一个总结。所谓数形结合法，我们在用的时候，第一步我们要做出函数在定义域范围内的图像。第二步利用函数的图像，我们求出函数的值域就可以了。好，感谢大家的收看，下期视频我们再见。