亲爱的同学们，大家好。今天咱们来继续更新高中数学必修第一册同步提高班视频系列专栏课专题六的第九个方法。利用不等式求值域或者是范围。这个不等式主要指的是基本不等式，也就是形如二分之A加B大于等于根号AB这样一个不等式。当然如果说有一些老师如果说还讲过柯西不等式，有一些函数的值域，我们也可以用柯西不等式来解。这个在新高考地区不做要求，这个可以不学。下面咱们以利九为例来阐述一下基本功能是如何来求范围或者是求值域。这道题命题比较的新颖，我们看一下这是最大最小函数。首先对于ABA分之一加B分之四这三个式子值的最大值，最大值里面我们再求其最小值。我们看对于这样一个题型我们该怎么来解。对于ABA分之一加B分之一这三个有可能A可以作为最大值，B也有可能作为最大值，或者是A分之一加B分之4，当然也有可能作为最大值来考。那么下面我们来看一下具体的解题过程。首先我们要分三类情况，第一类情况，若或者是当若。ABA分之一加B分之4，那么它的最大值想出来是A如果这个最大值是A那我们就可以得到A它是大于等于BA同样也是大于等于0，A分之一加上一个B分之4，这是第一类情况。那么在这种情况下，A是老大，A是老大，我们看一下此时求A的最什么值呢？A的最小值它是多少？如果说要求A的最值最小值，那我们肯定要用方式。我们看一下第一种情况，因为A大于等于B。因为A大于等于B所以说我们可以推出这个A分之一，肯定是小于等于B分之一。也就是说B分之一大于等于A分之一，所以A就大于等于A分之一，加上一个B分之4，我们的B分之一是大于等于B分之一，所以说B分之四肯定是大于等于A分之四的。所以说这个我们继续放出就大于等于这个A分之一，A分之一加上一个A分之4，这个我们把它通分就是A分之5，所以说A就大于等于A分之5。A既然大于等于A分之5，两边同时乘以A所以说A方就大于等于5。现在的话所以A就大于等于这个根号5，这是第一种情况，就是第一类情况。我们有同学说老师你这样解的话，这个取等的条件是否满足呢？我们可以看一下，第一个取等就是A等于B的时候成立。第二个取等就是A等于根号5，这个很明显是可以取到的，所以说取等的条件我们还是要来研究一下，这是第一类情况。同理我们看一下第二类情况和第一类情况是一样的，就是当这个max ABA分之一加B分之4，就这个最大值。如果说它等于B的时候，同样我们有这个B是大于等于A。B是大于等于A分之一加上一个B分之4。所以由这个B大于等于A分之一，所以说我们可以得到A分之一肯定是大于等于B分之一。所以B就大于等于A分之一加B分之4，那么就大于等于放射量，那就是B分之一加B分之4，这个就等于B分之5。所以同样我们可以推出这个B方是大于等于5，所以B就大于等于根号5，这样的话我们发现这个最小值仍然是根号5，这个取证的条件也是可以满足的，这是第二类情况。我们再看第三类情况，要此题的难度较大。我们看第三类情况，当这个三个式子的值，三个代数式的值最大值如果说取的是谁呢？A分之一加B分之4。等于A分之一加B分之40。这个时候我们可以得到这样一个不等式，就是你这个A分之一加上B分之四很明显大于等于AA分之一加B分之四很明显大于等于B好，有同学联想的基本不等式，王老师我们我们这样行不行？我们让两式同时相加，同时相加，同时相加，那么会有两倍的它大于等于A加B，或者用A加B乘以它。因为你这个最大值是A分之一加上一个B分之4，我们有进步的是这个，因为A分之一加B分之4的2倍，就是上次加4一定是大于等于A加B，这个没问题。他说我这样两边再同时乘以A分之一加B分之4，所以可以得到两倍的A分之一加上B分之4的平方，那么就大于等于A加B我们去乘以一个A分之一加B分之4。好这个好像转化成非常常规的，就是我们常规的那一种类型，我们把它打开有四项，其中A乘A分之一是一，B加B分之四是这个5不对，B之四是4 4加1就是5，再加上一个A分之B再加上一个B分之A，他说这个B分B分之4A这个就大于等于5，加上一个两倍的根号下，里面两个乘几的就是4，那这个结果就等于9。好，大家看一下，如果说按照这样一种解法的话，我们来看一下它的问题在哪里。这个问题在哪里，我们看能不能取到取等号。因为以前有同学做这道题的时候，他是用这一种解法来解的。结果解出来，你这个A分之一加上一个B分之4的平方是大于等于2分之9，结果大于等于2分之3倍的根号2在2B方，我们看取等条件是否满足，对于这种情况下的取等，那就是B方等于11方，也就是B等于2A是成立的。如果说把B等于21往这里面一带，大家可以发现，这种情况下他不是特别好做它我们看啊这里面如果说B等于2A了，B等于2A我们把B等于2A代进来，B等于2A代进来这个式子之后，我们会发现A分之一加上一个B等于2A，2A就是A分之二大于等于A也就是A方小于等于3，这是一个题目。那同样，我们把B等于二一带到后面这个式子，B等于二一带到后面这个式子，那么会发现这个A分之三有大于等于A你看两个取整的条件根本就不能同时满足，所以说他并娶不到我们刚才所说的这样一个根号五的情况。所以说这题用这种解法做构思，就是它的思路非常巧妙。换一道题有可能是可以，但是这个第三类情况如果这样解那就不行，那是失败的。所以说我们给大家介绍一下这样一种错误的解法。我们看一下这个第三类解法，就是第三类情况我们正确过程怎么解？大家稍等一下，我把这样一个错误的解法的过程，我把它擦掉。把它擦掉，在擦掉过程当中，你们可以想一想如何通过基本等式。我们来解决一个范围，就是把A分之一加上B分之四的范围，我可以把它解出来。好，下面咱们接着对这个题进行讲解。我们不妨定就是你A大于等于B也可以，B大于等于A也可以，这个是两种情况。我们可以这样，我们不妨假如说当A大于等于B时，我们还是用刚才的那一张。A大于等于B，我们可以得到这个A分之一小于等于几呢？B分之一。所以A分之一加B分之4来看，A分之一加B分之4，那么这个就大于等于。你看B分之一不是大于等于A分之一，所以说大于等于A分之一加上一个A分之4，这个是等于多少呢？这个A分之5。就等于A大于等于A分之5，这是一步。又因为你这个A分之一。加上一个B分之4，它就是大于等于A的。所以两个一加所以两倍的A分之一加上B分之4，那么一定是大于等于A加上一个A分之5。这个在用进不等式放缩大于等于二倍根号5。那我们看一下这种情况它是可以的，刚好取等的条件也是满足的。所以说我们会得到A分之一加B分之4，这个是大于等于根号。所以综上可知，第二类情况，同理我就不再推了，同理当B大于等于A的时候，最小值也为根号5，综上可知这个最小值就是根号，这是除尘。第九我们就讲到这里，这道题的难度较大。所以说基本上不能是在求最值和值域的题型的时候，它的难度确确实实比较大。下面我们来接着来看到除尘训练9ABC是不同时为零的实数，则AB加BC除以A方加2B方加C方的最大值是多少？这是一个选择题。好，我们看来看上面的这个式子，AB加上一个BC除以这个A方加上2B方，再加上一个C方的最大值。咱们在做这道题的时候，大家可以看一下这个式子上面，它是AB加上一个BC的形式，AB加上个BC的形式，下方是A方加2B方再加上C方。我们可以利用基本不等式，因为我这个里有两个B方，有一个ABAB和A方加B方有关系，BC和B方加C方有关系。所以说我们将分母进行变形，或者将分子进行变形也行，或者我们叫分子。因为我们学过重要的不等式，A方加B方，我们这是大于等于2AB的这是恒成立的。那么B方加C方，它是大于等于这个2BC的。所以说上市我们可以直接放出，那么就小于等于谁呢？小于等于AB就小于等于二分之A方加B方加上BC就小于等于二分之B方加C方除以这个A方加2B方加上一个C方等于好这个分子有一个2分之1，我们提到外面来，所以说这个分子就变为A方加B方加B方加C方，那就是A方加2B方再加C方，那么分母也是A方加2B方加C方，所以说这个值就是2分之1。当且仅当取等的条件，当且仅当A等于B等于C的时候等号成立。说此题的答案就选A。看起来很复杂，如果说能想到的话，它可以快速解题。好，下面咱们对这一类方法做一个简单的总结。我们利用基本不等式求值域或范围的时候，往往要注意。第一步先构造或者是利用进不等式求最值的形式或者是特征。第二个利用进不等式求最值要考虑取等的条件。你看我刚才我们为什么专门讲一个错解，就是这个取等能不能取到的问题，大家一定要注意。好，今天的课就上到这里，感谢大家收看下一期视频，我们再见。