上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025-2026学年高三上学期9月测试数学试题

上外云间高三数学练习试卷

2025.09

一､填空题

1. 函数的定义域为______.

2. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________.

3. 二项式的展开式中常数项的值为________．

4. 记为等差数列的前n项和．若，则__________．

5. 已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___．

6. 若事件与事件相互独立，，，则______.

7. 已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是______．

8. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为_________.

9. 已知中，，且，，则的最大值为______.

10. 已知，，且，则的最小值为______．

11. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.

12. 已知（a，b，，），若不等式对任意恒成立，则的取值范围为________.

二､单选题

13. 设，则“”是“且”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ）

A. 幂函数的图象都经过点和；

B. 幂函数的图象不经过第三象限；

C. 若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点.

D. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数；

15. 已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（    ）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

三､解答题

17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．

（1）求证：CE⊥平面PBD；

（2）求二面角P－CE－A的余弦值．

18. 已知二次函数满足，且.

（1）求的解析式；

（2），使得成立，求的取值范围.

19. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；

（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？

20. 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.

 

（1）求椭圆的焦距和离心率；

（2）若，求直线的方程；

（3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

21. 已知，对于函数，，设集合，，记.

（1）若函数，请判断中元素的个数，并说明理由；

（2）设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程；