1.3二次函数第四讲：二次函数取值范围 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2024-2025学年浙教版九年级上册 1.3第四讲：二次函数参数取值范围 1.设二次函数（为实数）的图象过点，，，，设，，（　　） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】D 【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax^2+bx+c的图象 【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）， ∴代入变形可得：y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k， ∵y1-y2=a，y3-y4=b， ∴a=k-3，b=k-7， A、若ab＜0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＜0①，且（k-3）+（k-7）＜0②， 由①得3＜k＜7，由②得k＜5， ∴3＜k＜5， 故A不符合题意； B、若ab＜0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＜0③，且（k-3）+（k-7）＞0④， 由③得3＜k＜7，由④得k＞5， ∴5＜k＜7， 故B不符合题意； C、若ab＞0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＞0⑤，且（k-3）+（k-7）＜0⑥， 由⑤得k＜3或k＞7，由⑥得k＜5， ∴k＜3， 故C不符合题意； D、若ab＞0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＞0⑦，且（k-3）+（k-7）＞0⑧， 由⑦得k＜3或k＞7，由⑧得k＞5， ∴k＞7， 故D符合题意. 故答案为：D. 2.规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点在点的左侧， ∴， ∴令，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴顶点坐标为， ∵， ∴线段上有3个整点， ∵区域内有6个整点， 当时，， 即； 当时，， 即， 综上所述，的取值范围为或， 故答案为：C． 3.已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且当时，有最小值2，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据题意得出，求出二次函数的图象的对称轴为直线，可知当时，有最小值，故，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题得二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∵时，有最小值，， ∴当时，有最小值， ∴， 解得或， ∴， 故选： D． 4.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解． 【详解】解：在二次函数中，，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 解得：， 故选：D． 5.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 6.已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由，可得当时，取最大值是，又当时，函数的最大值是，故，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，， 当时，取最大值是． 又当时，函数的最大值是， ． ． 故选：C． 7.已知点、、在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由可得抛物线开口向下，根据A、B到对称轴的距离大小关系求解．解题的关键是确定点A、B、C三点的横坐标之间的关系． 【详解】解：由题意得：抛物线对称轴， ∵点C为抛物线的顶点，且， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴点A距离对称轴的距离较B点更近，则， 解得：． 故答案为：． 8.已知关于二次函数有最小值，则当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式得出对称轴直线是解题的关键．首先确定二次函数的对称轴为直线，然后得出时，或，再根据二次函数有最小值得出时x的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， 时，， ∵关于x二次函数有最小值， ∴或时，． 故答案为：或． 9．写一个实数 ，使二次函数，当时，随的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，进而求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ， 解得， 故答案为：（答案不唯一）． 10.当时，二次函数的的最大值与最小值的差为，则n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为：直线，二次函数的最小值为：， ∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时， 当时，y随的x增大而减小， 那么时取得最大值，时取得最小值，最大值为，最小值为， 已知最大值与最小值的差为，则可列出方程， 解得，但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时，此时时取得最大值，时取得最小值，最大值为，最小值为， 此时最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时，此时时取得最小值，时取得最大值，最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为，则可列出方程， 解得，但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ∴综上，得到n的取值范围为： 故答案为：． 11..函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键． 先求出而二次函数的对称轴，再分，，三种情况，分别根据函数最大值时列方程求出a的值即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴其对称轴为， 根据题意可知，分以下三种情况： ①当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得，符合题意； ②当时， 在内，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为．解得：或（不符合条件舍弃）； ③当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得：，不符合题意； 综上，或． 12.二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为　 　. 【答案】b≤1或b≥2 【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象 【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为， ∴该函数的对称轴为直线， ∵图象上任意二点连线不与x轴平行， ∴或， ∵， ∴， 解得：b≤1或b≥2. 故答案为：b≤1或b≥2. 13.已知抛物线 与直线 . （1）求证：两个函数图象必有交点； （2）当抛物线 的顶点落在直线 上时，求a的值； （3）当 时， ，求a的取值范围. 【答案】（1）证明：联立 整理，得 △= ∴ 有实根 ∴两个函数图象必有交点； （2）解：抛物线 的顶点坐标的横坐标为x= ∵抛物线 的顶点落在直线 上 把x=1代入 中，解得： ∴抛物线的顶点坐标为（1,2） 将（1,2）代入 中，得 解得：a=-1 （3）解：当x=2时， ； 当x=-4时， 当a＞0时， ∵ ∴ 解得： 当a= 时，易知抛物线与一次函数的交点为（-4,7），（2,1） 此时也满足当 时， ； 此时 ； 当a＜0时，且两个函数图象只有1个交点时 △= 解得： ，如图所示，此时符合题意； 如图所示，当开口变大时，也符合题意 ∴此时 综上所述：a的取值范围为： 或 . 14.已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【答案】(1)顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是， (2)9 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式，即可得解； （2）根据二次函数的性质可得当时，y取得最小值，当时，y取得最大值，即可得解； （3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标，对称轴是直线，    由，得，解得：， 故与x轴的交点坐标是，； （2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上， ∴当时，当时，y取得最小值，此时； 当时，y取得最大值，此时； ∵， ∴当时，求y的最大值与最小值之差为9； （3）解：∵， 当时，则在时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， ∴当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 15.已知二次函数（为常数且）． (1)若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式． (2)若，当时，此二次函数随着的增大而减小，求的取值范围． (3)若二次函数在时有最小值，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，进而根据二次函数的性质可得抛物线开口向下，且当时二次函数随的增大而减小，即得到，据此即可求解； （）分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下，且当时二次函数随的增大而减小， ∵当时，此二次函数随着的增大而减小， ， ∴； （3）解：当抛物线开口向上时， ∴当时，二次函数有最小值， 则， 解得； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，二次函数有最小值， 则， 解得； 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙教版九年级上册 1.3第四讲：二次函数参数取值范围 1.设二次函数（为实数）的图象过点，，，，设，，（　　） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 2.规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（　　） A． B． C．或 D．或 3.已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且当时，有最小值2，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 4.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 6.已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7.已知点、、在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是 ． 8.已知关于二次函数有最小值，则当时，的取值范围是 ． 9．写一个实数 ，使二次函数，当时，随的增大而减小． 10.当时，二次函数的的最大值与最小值的差为，则n的取值范围 ． 11..函数在有最大值6，则实数的值是 ． 12.二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为　 　. 13.已知抛物线 与直线 . （1）求证：两个函数图象必有交点； （2）当抛物线 的顶点落在直线 上时，求a的值； （3）当 时， ，求a的取值范围. 14.已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 15.已知二次函数（为常数且）． (1)若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式． (2)若，当时，此二次函数随着的增大而减小，求的取值范围． (3)若二次函数在时有最小值，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $