1.3二次函数第六讲：二次函数之函数的性质 同步练习2025-2026学年浙教版九年级 数学上册

2024-2025学年浙教版九年级上册 1.3 二次函数第六讲：二次函数之函数性质 1.已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（　　） A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0 B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0 C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0 D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0 【答案】D 【知识点】二次函数的最值 【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数， ∴当m＝1时， y＝（x+1）（x-3）+n＝x2-2x-3+n＝（x-1）2-4+n ∴二次函数的最小值为y＝-4+n， ∴①当m＝1，n＞4时，-4+n＞0， ∴B选项不符合题意； ∴②当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝-4+n＜0， ∴D选项符合题意； 当m＞1，n＜0时， 若m＝2，则y＝x（x-2）+n＝x2-2x+n＝（x-1）2-1+n， ∴此时二次函数的最小值为-1+n，小于0， 故A选项不符合题意； 当m＜1，n＞0时， 若m＝0，则y＝（x+2）（x-4）+n＝x2-2x-8+n＝（x-1）2-9+n， ∴此时二次函数的最小值为-9+n， ∴当0＜n＜9时，-9+n＜0， ∴C选项不符合题意. 故答案为：D． 2.下列对二次函数的图象的描述，错误的是（　　） A．开口向上 B．该函数图象与坐标轴只有2个交点 C．当时，y随x的增大而减小 D．该函数图象最低点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键．根据二次函数的图象与性质，即可一一判定． 【详解】解：A．∵，∴开口向上，故正确； B．∵对于，，且过原点，∴该函数图象与坐标轴只有2个交点，故正确； C．∵，∴当时，y随x的增大而增大，故不正确； D．∵，∴该函数图象最低点坐标为，故正确． 故选C． 3.已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（   ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，D．若，是图象上两点，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与轴的交点坐标为，且开口向上， ∴当时，，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， ∴当时，，当时，， ∴，所以选项D符合题意， 故选：D． 4.二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数的对称性和增减性，可得答案． 【详解】∵，且， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而减小． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． ∴． 故选：D． 5.设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（   ） A．5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 6.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（　　） A. 开口方向向上，y有最小值是﹣2                         B. 抛物线与x轴有两个交点 C. 顶点坐标是（﹣1，﹣2）                                   D. 当x＜1时，y随x增大而增大 【答案】 D 7、已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（  ） A. 当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）                  B. 当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 【答案】 D 8.若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（   ） A. b＜1且b≠0                              B. b＞1                              C. 0＜b＜1                              D. b＜1 【答案】 A 9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A. （0， ）                   B. （ ，0）                   C. （0，﹣1）                   D. （﹣1，0） 【答案】 D 10.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1,则下列选项中说法正确的是(　　) A.abc<0 B.4ac-b2>0 C.c-a>0 D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c 【答案】D　由函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴,可知c>0, ∵对称轴为直线x=-1,∴-<0, ∵a>0,∴b>0,∴abc>0,故A错误; ∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点, ∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故B错误; ∵-=-1,∴b=2a, ∵当x=-1时,y=a-b+c<0,∴a-2a+c<0, ∴c-a<0,故C错误; 当x=-n2-2(n为实数)时,y=ax2+bx+c=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=an2(n2+2)+c,∵a>0,n2≥0,n2+2>0,∴an2(n2+2)≥0, ∴y=an2(n2+2)+c≥c,故D正确. 11.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x＝1，最小值是2 B．对称轴是直线x＝1，最大值是2 C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2 D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2 【答案】解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2， 可知：对称轴x＝1， 开口方向向下，所以有最大值y＝2， 故选：B． 12.，对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点 【答案】∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误， 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确， 故选：D． 13.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，与x轴交点为（﹣1，0）和（2，0），关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 【答案】A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为x＝，正确，故B选项不符合题意； C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意； D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意． 故选：D． 14.下列对于二次函数图象描述中，正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．图象有最低点 D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势 【答案】．B 15.已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为　 　． 【答案】-12＜ｙ<-3 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化 【解析】【解答】解：y=x2+4x－8=（x+2） 2-12， 当x=-2时，y的最小值为-12； 当x=-5时，y=25-20-8=-3， 当x=n，y=-3时n2+4n－8=-3， 解之：n1=1，n2=-5 ∵n＞0， ∴n=1； ∵点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合）， ∴点P的纵坐标的取值范围为-12＜ｙ<-3. 故答案为：-12＜ｙ<-3. 16.已知抛物线，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，再求出当时、当时的的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上， ∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 17.若，且，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值．由得，得到，令，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解： ， ∴， 设 ∴抛物线开口向下，当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小，顶点为，当时，取得最大值，即取最大值为； ，，，， ∴当时，有最小值为，即取最大值为， 故答案为：，． 18.已知二次函数，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增加性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最大值为：， 当时，有最小值为：， ∴； 故答案为：． 19. 已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)当时，直接写出函数的取值范围． 【答案】(1) (2)向上；； (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用（1）得到的顶点式即可求解； （3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：； （2）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． 时函数最小值为2， 将代入得． 当时，的取值范围． 20.已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 【答案】y的最大值为6，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最小值为，再结合到对称轴距离越远值越大求最大值即可． 【详解】解：二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y取最小值为， 又，即到对称轴的距离比大， ∴当时，有最大值，最大值； 当时，y的最大值为6，最小值为． 21.二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的根的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表中数据可得二次函数图象的对称轴，由轴对称性可得m的值，再用待定系数法，即可求得答案； （2）根据二次函数的增减性和轴对称性可知，当时，y取最大值，当时，y取最小值，由此即得答案； （3）根据二次函数的增减性，即得答案； （4）方程有两个不相等的实数根，等价于二次函数与直线有两个交点，根据图象即得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，当和时，， 该二次函数的图象的对称轴为， 和时，， ； 将，；，；，分别代入， 得，解得， 该二次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 当时，， ， 抛物线开口向下， 当时，； （3）， 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小； （4）方程有两个不相等的实数根， 二次函数与直线有两个交点， ． 22..二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，结合表格中的数据逐一分析即可． 【详解】解析：∵当或时，函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 ，①正确． ②当时的函数值大于当时的函数值， 当时的函数值是该函数的最小值， 函数图象开口向上，②正确． ③由①②得：当时，随的增大而增大， ③显然正确． ④当时，的取值范围为或， ④不正确． 综上所述， 正确的是①②③． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙教版九年级上册 1.3 二次函数第六讲：二次函数之函数性质 1.已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（　　） A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0 B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0 C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0 D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0 2.下列对二次函数的图象的描述，错误的是（　　） A．开口向上 B．该函数图象与坐标轴只有2个交点 C．当时，y随x的增大而减小 D．该函数图象最低点坐标为 3.已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（   ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，D．若，是图象上两点，则 4.二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（   ） A． B． C．1 D．3 5.设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（   ） A．5 B． C． D．0 6.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（　　） A. 开口方向向上，y有最小值是﹣2                         B. 抛物线与x轴有两个交点 C. 顶点坐标是（﹣1，﹣2）                                   D. 当x＜1时，y随x增大而增大 7、已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（  ） A. 当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）                  B. 当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 8.若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（   ） A. b＜1且b≠0                              B. b＞1                              C. 0＜b＜1                              D. b＜1 9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A. （0， ）                   B. （ ，0）                   C. （0，﹣1）                   D. （﹣1，0） 10.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1,则下列选项中说法正确的是(　　) A.abc<0 B.4ac-b2>0 C.c-a>0 D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c 11.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x＝1，最小值是2 B．对称轴是直线x＝1，最大值是2 C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2 D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2 12.，对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点 13.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，与x轴交点为（﹣1，0）和（2，0），关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 14.下列对于二次函数图象描述中，正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．图象有最低点 D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势 15.已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为　 　． 16.已知抛物线，当时，y的取值范围是 ． 17.若，且，则的最小值为 ，最大值为 ． 18.已知二次函数，当时，则的取值范围是 ． 19. 已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)当时，直接写出函数的取值范围． 20.已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 21.二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 22..二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $