专题01 空间向量与立体几何12考点（期中真题汇编，新疆专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量与立体几何 12大高频考点概览 考点01空间向量及其线性运算 考点02空间向量的共线与共面 考点03空间向量的数量积运算 考点04空间向量的夹角问题 考点05空间向量的垂直问题 考点06空间向量的投影向量 考点07空间向量基本定理 考点08用空间向量判断直线、平面的位置关系 考点09异面直线及其所成的角 考点10直线与平面所成的角 考点11平面与平面所成的角 考点12空间距离 地 城 考点01 空间向量及其线性运算 1．（2024秋•英吉沙县期中）在空间四边形中，连接，，设，分别是，的中点，化简下列各向量表达式： （1）； （2） 2．（2024秋•英吉沙县期中）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： （1）向量，，的坐标； （2），的坐标． 3．（2024秋•新疆期中）在空间四边形中，，，，且，，则　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•巴楚县期中）三棱锥中，为的中点，为的中点，若，则　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•喀什市期中）如图，空间四边形中，，，，且，，则等于　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•奎屯市校级期中）如图，空间四边形中，，，，且，，则等于　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•莎车县期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于　　 A． B． C． D． 地 城 考点02 空间向量的共线与共面 8．（2024秋•喀什市期中）已知空间向量，，且，则　　 A． B．16 C．4 D． 9．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则　　． 10．（2024秋•奎屯市校级期中）已知，，，若，，，四点共面，则　　 A． B．6 C． D．3 地 城 考点03 空间向量的数量积运算 11．（2024秋•天山区校级期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则　　 A． B．3 C．2 D．5 12．（2024秋•阿克苏地区校级期中）在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则　　 A．1 B．2 C． D． 13．（2024秋•阿克苏地区校级期中）如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设． （1）表示，并求的长； （2）求． 14．（2024秋•喀什市期中）棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． （1）证明：． （2）求． （3）求的长． 地 城 考点04 空间向量的夹角问题 15．（2024秋•喀什市期中）若向量，，，，，，且与的夹角余弦为，则等于　　 A． B． C．或 D．2 16．（2024秋•奎屯市校级期中）如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，． （1）求向量的坐标． （2）求与的夹角的余弦值． 地 城 考点05 空间向量的垂直问题 17．（2024秋•莎车县期中）已知向量，2，，向量，0，，若，则实数　　 A．3 B． C．6 D． 18．（2024秋•喀什市期中）若，则　　，若与互相垂直，则实数　　． 19．（2024秋•英吉沙县期中）已知向量，，且，则　　 ． 20．（2024秋•莎车县期中）已知空间三点，0，，，1，，，0，，设，． （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求实数的值． 地 城 考点06 空间向量的投影向量 21．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知向量，，则向量在向量上投影向量为 　　． 22．（2024秋•新疆期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为　　 A． B． C． D． （多选）23．（2024秋•天山区校级期中）已知向量，则下列结论正确的是　　 A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 地 城 考点07 空间向量基本定理 24．（2024秋•喀什市期中）下列说法正确的是　　 A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的，，，四点不共面，则是空间的一组基底 25．（2024秋•阿克苏地区校级期中）设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是　　 A． B． C． D． 26．（2024秋•天山区校级期中）在空间四边形中，若，分别是，的中点，是上的点，且，记，则，，等于　　 A． B． C． D． 地 城 考点08 用空间向量判断直线、平面的位置关系 27．（2024秋•巴楚县期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则　　 A． B． C． D．或 （多选）28．（2024秋•英吉沙县期中）下面四个结论正确的是　　 A．已知向量，，2，，则在上的投影向量为，2， B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 地 城 考点09 异面直线及其所成的角 29．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）在四面体中，，平面，，点，分别为棱，上的点，且，则直线与直线夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 30．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 　　． 31．（2024秋•巴楚县期中）如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为 　　． 32．（2024秋•新疆期中）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为 　　． 地 城 考点10 直线与平面所成的角 33．（2024春•天山区校级期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 34．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值． 35．（2024秋•天山区校级期中）如图，在三棱锥中，，，，，分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， （多选）36．（2024秋•阿克苏地区校级期中）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是　　 A．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 B．点到平面的距离为 C．四面体的体积为 D．若线段的中点为，则一定平行于平面 37．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知平面，，四边形为正方形． （1）证明：． （2）求与平面所成角的正弦值． 38．（2024秋•天山区校级期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由． 地 城 考点11 平面与平面所成的角 39．（2024秋•奎屯市校级期中）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值； （Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 40．（2024秋•喀什市期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值． 41．（2024秋•新疆期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，． （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 42．（2024秋•阿克苏地区校级期中）如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由． 43．（2024秋•天山区校级期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 44．（2024秋•巴楚县期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点、、分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 45．（2024秋•阿克苏地区校级期中）在棱长为2的正方体中，求： （1）直线与平面所成的角； （2）求平面与平面的距离； （3）求三棱锥外接球的表面积． 地 城 考点12 空间距离 （多选）46．（2024秋•新疆期中）空间内有四点，8，，，1，，，2，，，1，，则　　 A．点到直线的距离为 B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 47．（2024秋•新疆期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足． （1）是否存在点，使得平面？ （2）求的取值范围． （3）求点到直线的距离的最小值． 48．（2024春•克州期中）已知正方体的棱长为2，则顶点到平面的距离为 　　． 49．（2024秋•巴楚县期中）如图，在长方体中，，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 ☆12大高频考点概览 考点01空间向量及其线性运算 考点02空间向量的共线与共面 考点03空间向量的数量积运算 考点04空间向量的夹角问题 考点05空间向量的垂直问题 考点06空间向量的投影向量 考点07空间向量基本定理 考点08用空间向量判断直线、平面的位置关系 考点09异面直线及其所成的确 考点10直线与平面所成的角 考点11平面与平面所成的角 考点12空间距离 目目 考点01 空间向量及其线性运算 1. (2024秋·英吉沙县期中)在空间四边形ABCD中，连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点， 化简下列各向量表达式： (1)AB+BC+AD; (2)4D-(4B+40) 2 【解析】(1)因为G是CD的中点，所以AC+AD=2AG, 所以AB+BC+AD=AC+AD=2AG; (2)因为M是BC的中点，所以AB+AC=2AM, 所以AD-(B+AC)=而-M=M而. / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C 2.(2024秋·英吉沙县期中)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'CD',AB=1,BC=2, AA'=3,求： (1)向量AC,BD,AD的坐标： (2)AC+2BD,AC+BD-2AD的坐标. e A D 0(A) D B 【解析】(1)由题意可知，A(0,0,0,C'1,2,3),B1,0,0,D'(0,2,3), .AC=(1,2,3),BD=(-1,2,3),AD=(0,2,3): (2)AC=(1,2,3),BD=(-1,2,3),AD°=(0,2,3)， .AC+2BD=1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9), AC+BD-2AD=1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,4,6)-(0,4,6)=(0,0,0). 3.(2024秋·新疆期中)在空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,且AM=2MC, BN=2NO,则MN=() A++-c号+-.+- 1- +16-2。 / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 【解析】由题意知在空间四边形0ABC中，OA=石，OB=b,OC=c,且AM=2MC,BN=2NO, B MN=MA+40+ON--24C-04+108. 3 3 整理得m=e--a+=a+6-c 3333 故选：D. 4.(2024秋·巴楚县期中)三棱锥0-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，若 0A=a,0B=6,0C=c,则0E=() a0-5+eBa8+:c-0D++ 1 1-1 2 2 44 【解析】三棱锥0-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，且OA=a,OB=b,OC=c,如图， 0E-0i+500-o1+o+00-0+5+ 故选：D. B 5.(2024秋·喀什市期中)如图，空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,且0M=2MA, BN=NC,则MN等于() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 3 ；B+5- 2 2 【解新折18x=YC,O丽=O丽+O0, :0M=2MA,÷OM=2OA. m-0N-0N-O丽+0) oi-++ 2 32 故选：C. 6.(2024秋·奎屯市校级期中)如图，空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,且0M=2MA, BN=NC,则M等于() C +6+B+5- 2 A. 3 @+ 2 ca++D 3 2a- 3 【解析】由题意知，M=MA+AC+CN =104+(0C-04)+CB 3 =-20A+0C+2oB-0C) 3 -201+0B+oc 3 2 2 2 1 1 =-a+5b+5c. 322 故选：C. 7.(2024秋·莎车县期中)如图，在四面体0ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则OG等于( 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 G D B 0i+丽+oc A. B.o+5o+0c C. 04+080c D. 6 【解析】在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点， 则0c=50+0D.0D-20丽+00. :0G=0A+0B+}0c. 1 4 4 故选：C 目目 考点02 空间向量的共线与共面 8. (2024秋喀什市期中)已知空间向量ā=(1，-3,5)，6=(2，x,y),且ā/b,则x-y=（) A.-16 B.16 C.4 D.-4 【解析】a=(1,-3,5),b=(2,x,y),且a/1b, 2=士=兰，解得x=-6，y=10, 1-35 ∴.x-y=-16. 故选：A. 9.(2024秋阿克苏地区校级期中)已知向量ā=(2,4,5)，b=(4,x,y),分别是直线1、1，的方向向量，若 11儿2，则x+y=一 【解析】向量ā=(2,4,5)，b=(4,x,y),分别是直线1、，的方向向量， 4/1儿2， .a/1b, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .存在实数2，使得b=2ā， 4=21 则x=42, 解得元=2，x=8,y=10. y=5λ .x+y=18. 故答案为：18. 10.(2024秋奎屯市校级期中)已知PA=(2,1,-3),PB=(-1,2,3),PC=(5,5,2),若P,A,，B,C四 点共面，则2=() A.-6 B.6 C.-3 D.3 【解析】由P,A,B,C四点共面，可知存在有序实数对(x,y), 使得PC=xPA+yPB, 即(5,5，)=(2x-y,x+2y,-3x+3y), 5=2x-y 则有{5=x+2y,解得x=3,y=1,1=-6,所以2=-6： λ=-3x+3y 故选：A, 目目 考点03 空间向量的数量积运算 11. (2024秋·天山区校级期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的 四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD,且AB=AD=AP=3,EC=2PE, 则AE·DE=() D E -.->D B A.-3 B.3 C.2 D.5 【解析】以A为坐标原点，AB，AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 建立空间直角坐标系，如图： A C 由题意有：D0,3,0,P0,0,3),C(3,3,0), 由EC-2PE,可得E1,1,2), 所以AE=1,1,2),DE=(1,-2,2), 所以AE.DE=3. 故选：B. 12.(2024秋阿克苏地区校级期中)在棱长为1的正方体ABCD-A,BC,D,中，点M为棱CC上任意一点， 则AM·BC=( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】如图， D C A B M D C 在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为棱CC,上任意一点， 所以AM·BC=(AC+CM)·BC=(AB+AD+λAA)·AD=AD=ADP=1. 故选：A. 13.(2024秋阿克苏地区校级期中)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E,F,G ,H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB=a,AC=b,AD=c. (1)a,b,c表示EF,并求EF的长； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求EF.GF. G 【解析】(1)因为E,F分别为棱BC,AD的中点，且AB=ā，AC=b,AD=c, 可得歌=肠++-号而-丽+号而-丽-0)-亚+0：号丽-}c+0-5+, 2 2 因为正四面体ABCD的棱长为1，则a6Hc1,且a-6=ac=6-c=2 1 1 g+ab- 1 1111111111 d.c- 4 4 4 即1F仁5，所以EF的长为5， 2 （2)山题意得示8D=u0-)=e-0, 可将F.aF-+6-80-0--8-a6+25e+60-1-12×分- 所以F.GF=-。 4 14.(2024秋·喀什市期中)棱长为2的正方体中，E,F分别是DD,DB的中点，G在棱CD上，且 CG= CD,H是CG的中点. (1)证明：EF⊥B,C. (2)求cos<EF,CG>. (3)求FH的长. D A G B 【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-yz,如图所示； 则E0,0,1),F(1,1,0,B(2,2,2),C(0,2,0),C(0,2,2): 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)EF=1,1,-1),BC=(-2,0,-2), .EF.B,C=1×(-2)+1×0-1×(-2)=0, .EF⊥B,C, EF⊥B,C; 2由cG-c0c0,2.0:c0,0：GG=0,-号-2 m.CG-1x0+1x3-1x(-2)-号 15,1G0+(+-2y-20 3 .cos EF,CG>= EF.CG 3 .V30 IEFIxICGI x20 15 3 (3》:H为CG的中点，H0,弓)，F0,1,0. 5 F丽=(1,2,0 3 丽=-2++12 即FH的长为2 C A E、 B 目目 考点04 空间向量的夹角问题 15.（2024秋~略什市期中)若向量ā=1,1，)，万=2，-1，-2，且a与万的夹角余弦为 2,则 等于() / 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-V2 B.√2 C.-√2或√2 D.2 【解析】向量ā=(1,2,1)，b=(2,-1,-2), 日与6的夹角余弦为2 6 .'.cos<a,b > _a.b -入 _V2 1ab1√2+2.√96 解得λ=-√2. 故选：A· 62024秋：奎屯市校级期中如图，BC=2原点0是8C的中点，点A的坐标为（号，，0凰 D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°. (1)求向量CD的坐标. (2)求AD与BC的夹角的余弦值. D 【解析】(1)过D作DE1BC于E,则DE=CD.sin30-5 OE=OB-BDcos60=1-1=1 22 D的坐标为D(0, 1V3、 2’2), 又C0,1,0,CD=0,-2’2 33 (2)依题设有A点坐标为45,1， 2’2’0, 0=515,8C=0,2,0. 2,1 2 则AD与BC的夹角的余弦值： /