5.4 二次函数与一元二次方程（题型专练）数学苏科版九年级下册

5.4 二次函数与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点 1．（2025·中牟县·模拟）若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1 2．（2024·梁溪区·期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，则下列说法错误的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，8） B．图象的顶点坐标是（3，1） C．图象与x轴的交点坐标是（2，0），（4，0） D．当x＜3时，y随x增大而减小 3．（2025·涟水县·一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y＝ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 4．（2024·高新区·校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 题型二 图像法解一元二次方程 1．（2023·崇川区·期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝0 C．x1＝5，x2＝﹣3 D．x1＝﹣5，x2＝3 2．（2024·海门区·月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为　　． 3．（2025·镇江·模拟）若二次函数y＝mx2+2mx+c（m≠0）的图象过点A（3，0），则关于x的一元二次方程mx2+2mx+c＝0的两个根为　　． 4．（2022·盐都区·月考）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． 题型三 判断抛物线与x轴的交点个数 1．（2024·宝应县·期末）抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·姑苏区·校级月考）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024·兴化市·月考）抛物线y＝2x2+4x+7与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024·苏州·期末）对于二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x＝﹣2 B．开口向下 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标（2，1） 题型四 根据抛物线与x轴的交点个数求参 1．（2023·宜兴市·校级月考）若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 2．（2024·海门区·期末）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数y＝ax2﹣4x+1的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞4 D．0＜a＜4 3．（2025·射阳县·校级模拟）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m﹣2，n），则n＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·赣榆区·校级三模）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为　　． 题型五 判断一元二次方程的根的情况 1．（2024·通州区·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 2．（2022·江宁区·月考·改编）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 3．（2022·铜山区·期中）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 4．（2024·扬州·期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣9＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 题型六 根据一元二次方程的根的情况求参 1．（2023·姑苏区·校级月考）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　） A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4 2．（2025·南京·模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 3．（2025·崇川区·校级月考）关于x的方程3x2+ax+10＝0的两个实数根x1，x2，满足x1＜1＜x2，那么a的取值可以是（　　） A．﹣11 B．﹣12.5 C．﹣13 D．﹣14.5 4．（2024·泗洪县·三模）二次函数y＝x2+bx+3的图象过点A（2，3），若关于x的一元二次方程x2+bx＝t﹣4（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．6＜t＜11 B．2≤t＜11 C．3≤t＜12 D．3≤t＜7 题型七 求一元二次方程的近似根 1．（2024·崇川区·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 13 6 1 ﹣2 ﹣3 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 2．（2024·句容市·期末）在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x可以取任意实数，如表是自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣1.15 ﹣2.45 ﹣2.75 ﹣2.05 ﹣0.35 2.35 6.05 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个根最接近于（　　） A．0 B．1.8 C．2.0 D．2.6 3．（2024·梁溪区·校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中错误的是（　　） x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 4．（2025·泰兴市·校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13 C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89 题型八 根据抛物线解一元二次不等式 1．（2025·盱眙县·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．﹣1＜x＜3 2．（2025·亭湖区·校级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），顶点坐标为（1，3），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为　　． 3．（2024·连云港·期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，根据图象解决下列问题： （1）求这个二次函数的表达式； （2）当y＜3时，x的取值范围是　　． 4．（2023·润州区·月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ____ ﹣4 ﹣3 ____ … （2）根据图象，完成下列填空： ①当x＞1时，y随x的增大而　　； ②当y＜0时，x的取值范围是　　． 题型九 根据抛物线与斜直线解一元二次不等式 1．（2024·梁溪区·校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0 2．（2025·梁溪区·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象交于两点，这两点的横坐标分别为﹣1和3，则不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 3．（2025·沭阳县·三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h＞kx﹣c成立时，x的取值范围是　　． 4．（2025·武进区·校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　　． 题型一 解一元二次方程（升级版） 1．（2024·扬州·期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c的解为　　． 2．（2023·句容市·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m … （1）求该二次函数的关系式； （2）当﹣3＜x＜2时，函数y的取值范围是　　； （3）关于x的一元二次方程ax2+c﹣5＝﹣bx的解是　　． 题型二 抛物线与x轴的交点个数问题（升级版） 1．（2025·扬州·校级一模）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若m+n＝1，该函数图象与x轴没有交点 D．当m﹣1≤x≤m+2时，该函数的最大值与最小值的差为4 2．（2025·南京·校级期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　　； （3）将该抛物线向上平移　　个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 题型三 解一元二次不等式（升级版） 1．（2024·建邺区·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集是　　． 2．（2024·句容市·期末）已知x＝﹣2和x＝3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交点的纵坐标为6． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点M（m2﹣2m+2，p）、N（m2﹣2m+3，q）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的两点，请比较p与q的大小； （3）直接写出不等式ax2+bx+c＜6的解集． 题型四 二次函数与一元二次方程综合辨析题 1．（2025·连云港·一模）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b+2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·宿迁·月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·吴江区·月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 4．（2024·沭阳县·校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若，且x1≠x2，x1+x2＝2．其中正确的序号是（　　） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 1．（2025·无锡·校级二模）在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“伴随点”为Q，且规定：当a≥b时，Q为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．下列说法正确的序号是（　　） ①点（2，1）的伴随点坐标为（1，﹣2）； ②若点A（a，2）的伴随点在函数的图象上，则； ③若直线l：y＝﹣2x+4与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④若直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线y＝x2+c与图形M有两个交点时，． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2025·清江浦区·一模）如图，我们规定形如y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x＜1或x＞3；③当k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解；④当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小．其中正确的是　　（填出所有正确结论的序号）． 3．（2023·亭湖区·校级期中）规定：某一个函数图象上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”． （1）函数y＝x2　　“自反”函数（填：“是”或“不是”），如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由； （2）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值； 4．（2025·宿城区·校级二模）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标k倍的点（k为常数，且k≠0），则把该函数称为“k倍函数”，该点称为“k倍点”，例如：“2倍函数”y＝x+1，其“2倍点”坐标为（1，2）． （1）①判断：函数y＝2x+2　　“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数y＝x2+x的图象上的“2倍点”的坐标为　　． （2）若抛物线上有两个“3倍点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“k倍点”，且当﹣2≤m≤1时，n的最小值为﹣k，求k的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 二次函数与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点 1．（2025·中牟县·模拟）若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1 【详解】解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）． ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x1． 故选：C． 2．（2024·梁溪区·期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，则下列说法错误的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，8） B．图象的顶点坐标是（3，1） C．图象与x轴的交点坐标是（2，0），（4，0） D．当x＜3时，y随x增大而减小 【详解】解：A、令x＝0，则y＝8， ∴图象与y轴的交点坐标是（0，8），故A正确，不合题意； B、∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∴图象的顶点坐标是（3，﹣1），故B错误，符合题意； C、令y＝0，则x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4， ∴图象与x轴的交点坐标是（2，0），（4，0），故C正确，不合题意； D、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴当x＜3时，y随x增大而减小，故D正确，不合题意． 故选：B． 3．（2025·涟水县·一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y＝ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【详解】解：由图表可知：当x＝﹣2，y＝0， 由抛物线的对称形可知：当x＝3时，y＝0， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0），故①正确； ∴抛物线的对称轴是直线x＝3，故③正确； 由图表可知：抛物线的开口向下， ∴当x时，函数有最大值，而不是x＝0或x＝1对应的函数值6，故②错误； 在直线x的左侧，y随x增大而增大，故④正确． 故选：D． 4．（2024·高新区·校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0，解得：k＝﹣4a， 将k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k得：y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0，即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4，解得：x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）． 故选：A． 题型二 图像法解一元二次方程 1．（2023·崇川区·期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝0 C．x1＝5，x2＝﹣3 D．x1＝﹣5，x2＝3 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），（3，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣5，x2＝3． 故选：D． 2．（2024·海门区·月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为　　． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝3或﹣1． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣1． 3．（2025·镇江·模拟）若二次函数y＝mx2+2mx+c（m≠0）的图象过点A（3，0），则关于x的一元二次方程mx2+2mx+c＝0的两个根为　　． 【详解】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+c（m≠0）＝m（x+1）2﹣m+c， ∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1， ∵二次函数y＝mx2+2mx+c（m≠0）的图象过点A（3，0）， ∴该函数图象与x轴的另一个交点为（﹣5，0）， ∴一元二次方程mx2+2mx+c＝0的两个根为x1＝﹣5，x2＝3． 故答案为：x1＝﹣5，x2＝3． 4．（2022·盐都区·月考）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即1+4m＞0， ∴m， ∴m的取值范围为m； （2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x， ∴抛物线与x轴两个交点关于直线x对称， 由图可知：抛物线与x轴一个交点为（1，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0）， ∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2． 题型三 判断抛物线与x轴的交点个数 1．（2024·宝应县·期末）抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】解：令x2+mx﹣2＝0， ∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0， ∴方程x2+mx﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴的交点个数是2． 故选：C． 2．（2024·姑苏区·校级月考）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】解：令x2+4x+4＝0， ∵Δ＝42﹣4×1×4＝0， ∴抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数是1． 故选：B． 3．（2024·兴化市·月考）抛物线y＝2x2+4x+7与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】解：将y＝0代入抛物线y＝2x2+4x+7得：2x2+4x+7＝0， ∵Δ＝42﹣4×2×7＝﹣40＜0， ∴抛物线与x轴无交点． 故选：A． 4．（2024·苏州·期末）对于二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x＝﹣2 B．开口向下 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标（2，1） 【详解】解：∵y＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），故A、B不合题意，D符合题意． ∵当y＝0时，（x﹣2）2+1＝0， ∴方程没有实数解， ∴抛物线y＝（x﹣2）2+1与x轴没有交点，故C不合题意． 故选：D． 题型四 根据抛物线与x轴的交点个数求参 1．（2023·宜兴市·校级月考）若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 【详解】解：当k＝0时，y＝﹣6x+3，与x轴交于（，0），符合题意； 当k≠0时，∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有实根， ∴b2﹣4ac＝36﹣12k≥0，解得：k≤3且k≠0； 综上，k的取值范围为：k≤3． 故选：C． 2．（2024·海门区·期末）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数y＝ax2﹣4x+1的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞4 D．0＜a＜4 【详解】解：∵无论x为何值，函数值y恒为正，即二次函数y＝ax2﹣4x+1的图象在x轴的上方， ∴a＞0，b2﹣4ac＜0， ∴a＞0，（﹣4）2﹣4a＜0，解得：a＞4． 故选：C． 3．（2025·射阳县·校级模拟）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m﹣2，n），则n＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n），B（m﹣2，n）， ∴对称轴是直线x＝m﹣1， 又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴顶点为（m﹣1，0）， ∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m+1）2， 将A（m，n）代入得：n＝（m﹣m+1）2＝1，即n＝1． 故选：A． 4．（2025·赣榆区·校级三模）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为　　． 【详解】解：由题意可得：令y＝0，则x2﹣2mx+m2+m﹣4＝0， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣4）＝0， ∴4m2﹣4m2﹣4m+16＝0，解得：m＝4． 故答案为：4． 题型五 判断一元二次方程的根的情况 1．（2024·通州区·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点， 且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根． 故选：C． 2．（2022·江宁区·月考·改编）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣3只有一个交点， 且方程ax2+bx+c＝﹣3的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y＝﹣3的交点的横坐标， ∴关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的有两个相等实数根． 故选：B． 3．（2022·铜山区·期中）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 【详解】解：∵函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c， 而y′顶点的纵坐标为﹣2， ∴y′＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧， ∴ax2+bx+c0有两个同号不相等的实数根． 故选：D． 4．（2024·扬州·期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣9＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【详解】解：如图， ∵y＝ax2+bx+c的图象顶点纵坐标为8，向下平移9个单位即可得到y＝ax2+bx+c﹣9的图象， 此时，抛物线与x轴无点， ∴方程ax2+bx+c﹣9＝0无实数根． 故选：D． 题型六 根据一元二次方程的根的情况求参 1．（2023·姑苏区·校级月考）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　） A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4 【详解】解：∵这个函数有最小值﹣2，即y≥﹣2， ∴ax2+bx+c≥﹣2， ∴当m≥﹣2时，ax2+bx+c＝m有实数根． 故选：A． 2．（2025·南京·模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 【详解】解：如图， ∵当m＞3时，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m有两个交点，且一个交点的横坐标为正，另一交点的横坐标为负， ∴当关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根时，m的取值范围是m＞3． 故选：A． 3．（2025·崇川区·校级月考）关于x的方程3x2+ax+10＝0的两个实数根x1，x2，满足x1＜1＜x2，那么a的取值可以是（　　） A．﹣11 B．﹣12.5 C．﹣13 D．﹣14.5 【详解】解：设y＝3x2+ax+10， 由题意可得：抛物线y＝3x2+ax+10与x轴的两个交点横坐标分别为x1，x2， ∵x1＜1＜x2， ∴当x＝1时，y＜0， ∴3+a+10＜0，解得：a＜﹣13， ∴a的取值可以是﹣14.5． 故选：D． 4．（2024·泗洪县·三模）二次函数y＝x2+bx+3的图象过点A（2，3），若关于x的一元二次方程x2+bx＝t﹣4（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．6＜t＜11 B．2≤t＜11 C．3≤t＜12 D．3≤t＜7 【详解】解：由题意可得：将A（2，3）代入二次函数y＝x2+bx+3， ∴4+2b+3＝3，解得：b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴一元二次方程x2+bx＝t﹣4有实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t﹣1有交点， ∵方程x2﹣2x＝t﹣4在﹣1＜x＜4的范围内有实数根， ∵当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；当x＝1时，y＝2， ∴2≤t﹣1＜11，解得：3≤t＜12． 故选：C． 题型七 求一元二次方程的近似根 1．（2024·崇川区·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 13 6 1 ﹣2 ﹣3 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 【详解】解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝0时，y＝﹣2， ∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0． 故选：C． 2．（2024·句容市·期末）在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x可以取任意实数，如表是自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣1.15 ﹣2.45 ﹣2.75 ﹣2.05 ﹣0.35 2.35 6.05 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个根最接近于（　　） A．0 B．1.8 C．2.0 D．2.6 【详解】解：由表格可知：当x＝2时，y＝﹣0.35＜0，当x＝3时，y＝2.35＞0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个根最接近于2.0． 故选：C． 3．（2024·梁溪区·校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中错误的是（　　） x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【详解】解：∵当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故A正确，不合题意； ∵抛物线与y轴的交点为（0，1）， ∴抛物线与y轴交于正半轴，故B正确，不合题意； ∵该函数图象开口向下，当x＝0和x＝3时，函数值相等， ∴该函数图象对称轴为， ∵， ∴当x＝4和x＝﹣1时，函数值相等，都为﹣3， ∴当x＝4时，y＝﹣3＜0，故C错误，符合题意； 当x＝3时，y＝1，当x＝4时，y＝﹣3， ∴方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间，故D正确，不合题意． 故选：C． 4．（2025·泰兴市·校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13 C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c的对称轴为直线x2， ∴（0.12，﹣1.5）关于对称轴的对称点为（3.88，﹣1.5），（0.13，0.9）关于对称轴的对称点为（3.87，0.9）， 由表可知：当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0， ∴当x取3.87与0.88之间的某个数时，y＝0， ∴方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是3.87＜x＜3.88． 故选：C． 题型八 根据抛物线解一元二次不等式 1．（2025·盱眙县·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．﹣1＜x＜3 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴3+x＝2，解得：x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∵y＜0， ∴﹣1＜x＜3． 故选：D． 2．（2025·亭湖区·校级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），顶点坐标为（1，3），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为　　． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∵当﹣1＜x＜3时，y＞0， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 3．（2024·连云港·期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，根据图象解决下列问题： （1）求这个二次函数的表达式； （2）当y＜3时，x的取值范围是　　． 【详解】解：（1）∵二次函数图象经过点（1，0），（0，3）， ∴，解得：， ∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当y＝3时，﹣x2﹣2x+3＝3，解得：x1＝0，x2＝﹣2， ∴x＝0或x＝﹣2时，y＝3， ∵抛物线开口向下， ∴当x＜﹣2或x＞0时，y＜3， 故答案为：x＜﹣2或x＞0． 4．（2023·润州区·月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ____ ﹣4 ﹣3 ____ … （2）根据图象，完成下列填空： ①当x＞1时，y随x的增大而　　； ②当y＜0时，x的取值范围是　　． 【详解】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣2x﹣3， 当x＝0时，y＝﹣3， 当x＝3时，y＝0， 故答案为：﹣3，0； 画出函数图形如图所示： （2）①由图可知：当时x＞1，y随x的增大而增大， 故答案为：增大； ②由表可知：抛物线与x轴相交于点（﹣1，0），（3，0）， 由图可知：当时y＜0，的取值范围是﹣1＜x＜3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 题型九 根据抛物线与斜直线解一元二次不等式 1．（2024·梁溪区·校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）， ∴不等式ax+bx+c＞kx+m为：x＜﹣3或x＞0． 故选：A． 2．（2025·梁溪区·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象交于两点，这两点的横坐标分别为﹣1和3，则不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 【详解】解：画出大致图象如图所示： 由图可得：不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是﹣1＜x＜3． 故选：C． 3．（2025·沭阳县·三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h＞kx﹣c成立时，x的取值范围是　　． 【详解】解：∵不等式ax2+bx﹣h＞kx﹣c成立， ∴不等式ax2+bx+c＞kx+h成立， 由图象可得：x的取值范围是﹣2＜x＜2． 故答案为：﹣2＜x＜2． 4．（2025·武进区·校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　　． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴﹣m+n＝p，3m+n＝q， 如图，设抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P、Q两点， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点， 观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方， ∴ax2+c＞﹣mx+n即ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1． 故答案为：x＜﹣3或x＞1． 题型一 解一元二次方程（升级版） 1．（2024·扬州·期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c的解为　　． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4）， ∴当y＝4时，方程4＝ax2+bx+c解为x1＝﹣4，x2＝2， ∵方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c可以转化为方程a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝4， ∴x﹣3＝﹣4或x﹣3＝2，解得：x3＝﹣1，x4＝5． 故答案为：x3＝﹣1，x4＝5． 2．（2023·句容市·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m … （1）求该二次函数的关系式； （2）当﹣3＜x＜2时，函数y的取值范围是　　； （3）关于x的一元二次方程ax2+c﹣5＝﹣bx的解是　　． 【详解】解：（1）由表可得：抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），抛物线经过点（0，﹣3）， 设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1， ∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． （2）将x＝4代入y＝x2﹣2x﹣3得：y＝5， 将x＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3得：y＝12， ∴当﹣3＜x＜2时函数y的取值范围是﹣4≤y＜12． （3）∵ax2+c﹣5＝﹣bx，即ax2+bx+c＝5， 由表格可得：当x＝﹣2，4时，ax2+bx+c＝5， ∴方程ax2+c﹣5＝﹣bx的解为：x＝﹣2或x＝4． 题型二 抛物线与x轴的交点个数问题（升级版） 1．（2025·扬州·校级一模）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若m+n＝1，该函数图象与x轴没有交点 D．当m﹣1≤x≤m+2时，该函数的最大值与最小值的差为4 【详解】解：A、∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，故A错误，不合题意； B、∵二次函数的对称轴为直线xm， ∴当m＞0时，对称轴为y轴右侧， 当m＜0时，对称轴为y轴左侧， 当m＝0时，对称轴为y轴，故B错误，不合题意； C、∵m+n＝1， ∴Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）•n＝4m2+4n＝4m2+4（1﹣m）＝4m2﹣4m+4＝4（m）2+3＞0， ∴函数图象与x轴有两个交点，故C错误，不合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m， ∴二次函数的最大值为﹣m2+2m2+n＝m2+n， ∵m+2﹣m＝2＞m﹣（m﹣1）＝1， ∴当x＝m+2时，二次函数有最小值，最小值为﹣（m+2）2+2m（m+2）+n＝m2+n﹣4， ∴m2+n﹣（m2+n﹣4）＝4，故D正确，符合题意． 故选：D． 2．（2025·南京·校级期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　　； （3）将该抛物线向上平移　　个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【详解】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4． 将（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：a×（1+1）2﹣4＝0，解得：a＝1， ∴y＝（x+1）2﹣4； （2）当x＝﹣5时，y＝12， ∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴y的最小值为﹣4， ∴当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜12， 故答案为：﹣4≤y＜12； （3）①当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得y＝（x+1）2， ∴与x轴只有一个交点，即（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝1， ∴与y轴的有一个交点，即（0，1），符合题意； ②当与原点相交时，y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，向上平移3个单位长度得y＝x2+2x， 当y＝0时，x2+2x＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴所得交点为（﹣2，0），（0，0），符合题意； 综上，该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 故答案为：3或4． 题型三 解一元二次不等式（升级版） 1．（2024·建邺区·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集是　　． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴x＝﹣1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴b＝2a， 设此二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），即y＝ax2+2ax﹣3a， ∴c＝﹣3a， ∴二次函数y＝bx2+ax+c可表示为y＝2ax2+ax﹣3a， 当y＝0时，2ax2+ax﹣3a＝0，解得：x1，x2＝1， ∴二次函数y＝2ax2+ax﹣3a与x轴的交点坐标为（，0），（1，0）， ∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵当x＜1时，y＝2ax2+ax﹣3a＜0， ∴关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集为：x＜1． 故答案为：x＜1． 2．（2024·句容市·期末）已知x＝﹣2和x＝3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交点的纵坐标为6． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点M（m2﹣2m+2，p）、N（m2﹣2m+3，q）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的两点，请比较p与q的大小； （3）直接写出不等式ax2+bx+c＜6的解集． 【详解】解：（1）设该二次函数的表达式为y＝a（x+2）（x﹣3）， ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交点的纵坐标为6， ∴二次函数的图象经过点（0，6）， 将点（0，6）代入y＝a（x+2）（x﹣3）得：﹣6a＝6，解得：a＝﹣1， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+6， ∵y＝﹣x2+x+6， ∴顶点坐标为； （2）∵m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1≥1，m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2≥2，（m2﹣2m+3）﹣（m2﹣2m+2）＝1＞0， ∴m2﹣2m+3， ∴p＞q； （3）令﹣x2+x+6＝6，解得：x1＝0，x2＝1， ∴不等式ax2+bx+c＜6的解集为x＜0或x＞1． 题型四 二次函数与一元二次方程综合辨析题 1．（2025·连云港·一模）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b+2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x， ∴3b＝2a，则ab， ∴b＜0， ∵图象与x轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①错误，④正确； 由图象可得：当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故②正确； 抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，故③错误； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴b﹣b+c＞0， ∴b+2c＞0，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 故选：B． 2．（2024·宿迁·月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：由图可知：a＜0，c＞0，对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∵当x＝﹣2时，图象在x轴上方， ∴4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b，故②错误； 当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∵b＝2a， ∴， ∴， ∴3b+2c＜0，故③正确； ∵当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c， ∴当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），故④正确； 综上，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 3．（2024·吴江区·月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【详解】解：由图象可知：a＜0，b＜0，c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴，即2a﹣b＝0，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零， ∴x＝﹣3时，函数值小于零， ∴9a﹣3b+c＜0，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下， ∴当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c，即am2﹣a+bm+b≤0， ∴a（m2﹣1）+b（m+1）≤0，故④正确； 由图象可知：当x＝1时，函数值小于零， ∴a+b+c＜0， 又∵b＝2a， ∴3a+c＜0，故⑤正确． 故选：D． 4．（2024·沭阳县·校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若，且x1≠x2，x1+x2＝2．其中正确的序号是（　　） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线， ∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最大值为a+b+c， ∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，故③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故④错误； ∵， ∴， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2，故⑤正确． 故选：D． 1．（2025·无锡·校级二模）在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“伴随点”为Q，且规定：当a≥b时，Q为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．下列说法正确的序号是（　　） ①点（2，1）的伴随点坐标为（1，﹣2）； ②若点A（a，2）的伴随点在函数的图象上，则； ③若直线l：y＝﹣2x+4与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④若直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线y＝x2+c与图形M有两个交点时，． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【详解】解：①∵2＞1， ∴点（2，1）的伴随点坐标为（1，﹣2），故①正确，符合题意； ②当a≥2时，点A的伴随点为（2，﹣a）， 将（2，﹣a）代入得：，解得：（不合题意，舍去）； 当a＜2时，A的伴随点为（a，﹣2）， 将（a，﹣2）代入得：，解得：； ∴，故②错误，不合题意； ③y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2， ∴A（2，0），B（0，4）， 当x＝y时，x＝﹣2x+4，解得：， ∴点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为， 点（2，0）的伴随点的坐标为（0，﹣2），点（0，4）的伴随点的坐标为（0，﹣4）， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过（0，﹣2）的一条射线， 设此射线的解析式为y＝k1x﹣2（k1≠0）， 将代入得：，解得：， ∴，； 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过（0，﹣4）的一条射线， 设此射线的解析式为y＝k2x﹣4（k2≠0）， 将代入得：，解得：k2＝2， ∴y＝2x﹣4，； ∴M是以点为端点的两条射线，其解析式为，故③正确，符合题意； ④设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点（6，0），（0，3）代入得：，解得：， ∴直线l的解析式为， 当x＝y时，，解得：x＝2， ∴点C的坐标为（2，2），点C的伴随点的坐标为C′（2，﹣2）， 点（6，0）的伴随点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的伴随点的坐标为（0，﹣3）， 当x≥2时，所有伴随点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣6）的一条射线， 设此射线的解析式为y＝k1x﹣6（k1≠0）， 将C′（2，﹣2）代入得：2k1﹣6＝﹣2，解得：k1＝2， ∴y＝2x﹣6，其中x≥2； 当x＜2时，所有伴随点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线， 设此射线的解析式为y＝k2x﹣3（k2≠0）， 将C′（2，﹣2）代入得：2k2﹣3＝﹣2，解得：， ∴，x＜2； ∴新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形，如图所示： 由和得：①和x2﹣2x+c+6＝0②， 讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得： 当方程①无实数根时，，解得：， ∴当时，抛物线y＝x2+c与图形M没有交点； 当方程①有两个相等实数根时，，解得：， ∴当时，抛物线y＝x2+c与图形M有一个交点； ∴当时，抛物线y＝x2+c与图形M有两个交点； 当方程②有两个相等实数根或y＝x2+c恰好经过点C′时，（﹣2）2﹣4（c+6）＝0，解得：c＝﹣5或c＝﹣6， ∴当c＝﹣5或c＝﹣6时，抛物线y＝x2+c与图形M有三个交点； 当方程②方程①均有两个不相等的实数根，且两根均小于2时， 即当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y＝x2+c与图形M有四个交点； 当c＜﹣6时，抛物线y＝x2+c与图形M有两个交点； 综上，当或c＜﹣6时，抛物线与图形M有2个交点，故④错误，不合题意． 故选：A． 2．（2025·清江浦区·一模）如图，我们规定形如y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x＜1或x＞3；③当k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解；④当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小．其中正确的是　　（填出所有正确结论的序号）． 【详解】解：由图象可知：图象关于直线x2对称，故①正确； 由图象可知：关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x≠1且x≠3，故②不正确； 将x＝2代入y＝|x2﹣4x+3|得：y＝1， ∴当0＜k＜1时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k有四个交点， 当k＝0时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k有两个交点， 当k＜0时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k没有交点， ∴当0＜k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解， 当k＝0时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有两个实数解， 当k＜0时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k没有实数解，故③不正确； 当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的变化情况取决于函数在x＜1时的增减性， 并不一定是当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小，故④不正确． 故答案为：①． 3．（2023·亭湖区·校级期中）规定：某一个函数图象上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”． （1）函数y＝x2　　“自反”函数（填：“是”或“不是”），如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由； （2）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值； 【详解】解：（1）∵y＝x2经过原点，满足定义， ∴y＝x2是“自反”函数， 由题意可得：，解得：或， ∴“自反”函数y＝x2的“反点”是（0，0）或（﹣1，1）， 故答案为：是； （2）由题意可得：， ∴ax2﹣4x+a﹣3＝0有两个相等的实数解， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4a（a﹣3）＝0，解得：a＝﹣1或a＝4． 4．（2025·宿城区·校级二模）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标k倍的点（k为常数，且k≠0），则把该函数称为“k倍函数”，该点称为“k倍点”，例如：“2倍函数”y＝x+1，其“2倍点”坐标为（1，2）． （1）①判断：函数y＝2x+2　　“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数y＝x2+x的图象上的“2倍点”的坐标为　　． （2）若抛物线上有两个“3倍点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“k倍点”，且当﹣2≤m≤1时，n的最小值为﹣k，求k的值． 【详解】解：（1）①设“2倍点”坐标为（x，2x）， ∴2x＝2x+2，无解， ∴函数y＝2x+2不是“2倍函数”， 故答案为：不是； ②由题意可得：2x＝x2+x，整理得：x2﹣x＝0，解得：x＝0或x＝1， ∴函数y＝x2+x的图象上的“2倍点”的坐标为（0，0）或（1，2）， 故答案为：（0，0）或（1，2）； （2）抛物线上有两个“3倍点”， ∴设“3倍点”坐标为（x，3x）， ∴，整理得：， ∵抛物线有两个“3倍点”， ∴，解得：， ∴m的取值范围为：且m≠1； （3）设“k倍点”坐标为（x，kx）， ∴，整理得：， ∵图象上存在唯一的一个“k倍点”， ∴， ∴n＝m2﹣4km+4k2+2k，即n是关于m的二次函数，图象开口向上， ∴对称轴直线m， 当﹣2≤m≤1时，n的最小值为﹣k，根据对称轴于取值范围的关系，分类讨论： ∴①﹣2≤2k≤1，即， ∴（2k）2﹣4k×2k+4k2+2k＝﹣k，解得：； ②当2k≤﹣2时，k≤﹣1， ∴m＝﹣2时取到最小值﹣k， ∴（﹣2）2﹣4×（﹣2）k+4k2+2k＝﹣k，整理得：4k2+11k+4＝0， 解得：（舍去）； ③当2k＞1时，， ∴m＝1时取到最小值﹣k， ∴12﹣4k+4k2+2k＝﹣k，整理得：4k2﹣k+1＝0，无解； 综上，k的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $