精品解析：内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属学校2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷

内蒙古师大附校2020－2021学年第二学期初二年级期中试卷 数学 命题人：王天航 审核人：霍立君 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 5. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　） A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或33 7. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 8. 如图，矩形中，，点在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点恰好落在上的点处，则________. A. 9 B. 8 C. 7 D. 5 9. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 已知一直角三角形三边的长分别为x，3，4，则x的值为___________． 12. 计算：______． 13. 已知，，则____________． 14. 于，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于，则点表示的数是__________． 15. 矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 16. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为________. 三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 17. 计算： 18. 若a、b都是实数，且b=，试求的值. 四、解答题（本大题共7小题，共49.0分） 19. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 20. 如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC． （1）求△ABC的周长． （2）BC边上的高是多少？ 21. 如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60°，航行24海里后到C处，见岛A在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险？ 22. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 23. 已知：在中，是边上的中线，点是的中点；过点作，交的延长线于，连接. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当分别满足什么条件时，四边形是菱形；四边形是矩形，并说明理由. 24. 如图，在正方形中，点在对角线上（不与点，点重合），于点，于点，连结， （1）写出线段，，长度之间的数量关系，并说明理由． （2）若正方形的边长为，，求线段的长． 25. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古师大附校2020－2021学年第二学期初二年级期中试卷 数学 命题人：王天航 审核人：霍立君 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式的解集，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义得，， 解得， 根据分式有意义的条件得，， 即， ∴且， 故选：A． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件等知识点，正确计算是解题的关键． 利用利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件分别判断各选项即可． 【详解】解：A、中的取值范围为或，中中的取值范围为，故原写法错误，不符合题意； B、，故原写法错误，不符合题意； C、由可得，那么，故原写法错误，不符合题意； D、，写法正确，符合题意， 故选：D． 4. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理计算即可． 【详解】解：有三个正方形a，b，c， ， ， ， ，， ， ， 在中，勾股定理得：， ． 故选C． 5. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 6. △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　） A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或33 【答案】C 【解析】 【分析】存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部 【详解】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形 ∵AD是高，∴AD⊥BC ∵AB=15，AD=12 ∴在Rt△ABD中，BD=9 ∵AC=13，AD=12 ∴在Rt△ACD中，DC=5 ∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42 情况二：如下图，△ABC是钝角三角形 在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5 在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9 ∴BC=4 ∴△ABC的周长为：15+13+4=32 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况. 7. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8. 如图，矩形中，，点在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点恰好落在上的点处，则________. A. 9 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易证得△A′BC≌△DCE（AAS），BC=AD，A′B=AB=CD=15cm，然后设A′C=xcm，在Rt△A′BC中，由勾股定理可得BC2=A′B2+A′C2，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=15cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC， ∴∠DEC=∠A′CB， 由折叠的性质，得：A′B=AB=15cm，∠BA′E=∠A=90°， ∴A′B=CD，∠BA′C=∠D=90°， 在△A′BC和△DCE中， ， ∴△A′BC≌△DCE（AAS）， ∴A′C=DE， 设A′C=xcm，则BC=AD=DE+AE=x+9（cm）， 在Rt△A′BC中，BC2=A′B2+A′C2， 即（x+9）2=x2+152， 解得：x=8， ∴A′C=8cm． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 9. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM＝AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM． 【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， 又∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AEPF为矩形， ∵M 为 EF 中点， ∴M 也是 AP中点，即AM＝AP， 故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小， 由，可得AP＝， AM＝AP＝； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键． 10. 如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 已知一直角三角形三边的长分别为x，3，4，则x的值为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中利用勾股定理求第三边长时，要分清哪是斜边哪是直角边． 【详解】解：当x是直角边时， 由勾股定理得：； 当x是斜边时， 由勾股定理得：． 则x的值为5或． 故答案为：5或． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，化简绝对值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据，将原式变形为，再化简绝对值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知，，则____________． 【答案】10 【解析】 【分析】先求出xy和的值，再将因式分解成，再代入计算． 【详解】，， ∴， ， ． ． 故答案为：10． 【点睛】考查了因式分解和二次根式的乘法计算，解题关键是求出xy和的值，再将因式分解成． 14. 于，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于，则点表示的数是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AP的长，再根据A点表示，可得点P表示的实数． 【详解】解：∵AB长为2，BC长为1， ∴AC=， ∵A点表示， 当点P在点A的右侧时， ∴点P表示的实数是：； 当点P在点A的左侧时， ∴点P表示的实数是：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类讨论. 15. 矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 16. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，再利用特殊角60°的三角函数值求解． 【详解】连接PD，BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB=PD， ∴PM+PB=PM+PD， 连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短， ∴这个P点就是要求的P点， 又∵∠BAD=60°，AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∵M为AB的中点， ∴MD⊥AB， ∵MD=3， ∴AD=MD÷sin60°=3÷=2， ∴AB=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及特殊角的三角函数值，属中等难度． 三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂和零指数幂运算，正确计算是解题的关键． 分别计算负整数指数幂、零指数幂，立方根和相反数，再进行加减计算． 【详解】解：． 18. 若a、b都是实数，且b=，试求的值. 【答案】 【解析】 【分析】先由二次根式的非负性可知，1﹣4a=0，求解出a值后再代入求解b值，最后将a和b的值代入原式进行求解. 【详解】解：∵1﹣4a≥0且4a﹣1≥0， ∴1﹣4a=0，解得a=， 则b=， 所以原式=. 【点睛】本题考查了利用二次根式的非负性求解参数并进行二次根式运算. 四、解答题（本大题共7小题，共49.0分） 19. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 20. 如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC． （1）求△ABC的周长． （2）BC边上的高是多少？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理分别求出三条边的长，进而可求出周长； （2）利用面积法求解即可； 【详解】解：（1）由勾股定理得，， ， ， 所以△ABC的周长为； （2）设BC边上的高是h， S△ABC＝＝4. ∴， ∴h＝． ∴BC边上的高是． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2． 21. 如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60°，航行24海里后到C处，见岛A在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险？ 【答案】货轮继续向西航行，没有触礁危险． 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BD于点D，根据已知利用三角函数求得AD的长．从而与20比较，若大于20则无危险，反之有危险． 【详解】如图，过点A作AD⊥BD于点D， ∵∠EBA＝60°，∠FCA＝30°， ∴∠ABC＝∠BAC＝30°． ∴AC＝BC＝24，∠DAC＝30°． ∴AD＝AC•cos30°＝12≈20.78＞20． 答：货轮继续向西航行，没有触礁危险． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题. 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北偏东（西）多少度或南偏东(西)多少度. 22. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】 （1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 23. 已知：在中，是边上的中线，点是的中点；过点作，交的延长线于，连接. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当分别满足什么条件时，四边形是菱形；四边形是矩形，并说明理由. 【答案】（1）见详解；（2）①当时，四边形是矩形；②当，四边形是菱形. 【解析】 【分析】（1）先证明，然后由全等三角形的性质，得到BD=CD=AF，即可证明结论成立； （2）①根据矩形的判定定理即可得到结论；②根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明： ∵，∴， 在和中 ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①当时，四边形是矩形； 由（1）可知，，， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AB=DF， ∴AB=AC=DF， ∴平行四边形ADCF是矩形； ②当，四边形是菱形； 由①可知，四边形ABDF是平行四边形， ∴AB∥DF， ∵，即AB⊥AC， ∴DF⊥AC， ∴平行四边形ADCF是菱形. 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握所学的定理和性质，正确得出△AEF≌△DEB是解题关键． 24. 如图，在正方形中，点在对角线上（不与点，点重合），于点，于点，连结， （1）写出线段，，长度之间的数量关系，并说明理由． （2）若正方形的边长为，，求线段的长． 【答案】（1）AG2＝GE2＋GF2，证明见解析；（2）＋1 【解析】 【分析】（1）连接CG．由正方形的性质得到A、C关于对角线BD对称，求得GA＝GC，根据矩形的判定定理得到四边形EGFC是矩形，求得CF＝GE，根据勾股定理即可得到结论； （2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可求得结果． 【详解】解：（1）结论：AG2＝GE2＋GF2． 理由：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA＝GC， ∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CF＝GE， 在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2， ∴AG2＝GF2＋GE2； （2）过点A作AH⊥BG于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠GBF＝45°， ∵GF⊥BC， ∴∠BGF＝45°， ∵∠BAG＝75°， ∴∠AGB＝180°−∠ABD−∠BAG＝60°， ∴∠GAH＝30°， 在Rt△ABH中，∵AB＝， ∴AH2＝BH2＝， ∴AH＝BH＝， 在Rt△AGH中，∵AH＝，∠GAH＝30°， ∴AG＝2HG， ∵AG2＝HG2＋AH2， ∴（2HG）2＝HG2＋（）2， 解得：HG＝1， ∴BG＝BH＋HG＝＋1． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 25. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE， ∵EF垂直平分AC，垂足为O， ∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形， 设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm， 由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2， 解得x=5， ∴AF=5cm． （2）①以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长； （2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=12﹣4t， ∴5t=12﹣4t， 解得， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12； ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12； iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12． 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $