2.2.3 基本不等式的应用学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2.3 基本不等式的应用

一、教学目标及重、难点：

1.教学内容：基本不等式在实际问题中的应用.

2.教学目标：能用基本不等式解决实际问题中的最值问题．

3.教学重点：把实际问题抽象为数学中关于函数的最值问题．

4.教学难点：理解和识别实际问题中的数量关系，判断能否转化为基本不等式的数学模型．

5.核心素养：借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．

二、新课导入：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，三、新知探究：用基本不等式解决实际问题中的最值问题

探究（一）：与平面图形的面积有关的最值问题

例1.（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.

（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.

 

 

 

 

【感悟提升】利用基本不等式解决实际问题的一般步骤

(1)读懂题意，设出变量，列出函数关系式；

(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案．

【跟踪训练1】

（1） 用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

（2） 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长. 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

 

 

 

（3）围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

 

 

 

 

 

探究（二）：与空间几何体的表面积、体积有关的最值问题

例2.    某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底

的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长

取什么值时，水池的总造价最低.

 

 

 

 

 

 

 

 

【跟踪训练2】

（1）做一个体积为,高为2m的长方形纸盒,底面的长与宽分别取什么值时用纸最少？

（2）已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？

 

 

 

 

 

 

 

探究（三）：与生产、经营有关的最值问题

例3.    一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？