2.5.2圆与圆的位置关系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法，培养数学抽象的核心素养． 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．（重点） 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养．（难点） 学习目标 新课导入 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。 我们将月亮与太阳抽象为圆， 观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系， 现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。 新课探究 思考：类比直线与圆的位置关系，请同学们思考：圆与圆有哪几种位置关系？ 两个圆之间存在以下三种位置关系： (1) 两圆相交，有两个公共点； (2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3) 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 两圆相交 两圆相切 两圆相离 新课探究 问题1 如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？ 外离 |O1O2|>R+r |O1O2|=R+r |R-r|<|O1O2|<R+r |O1O2|=|R-r| 0≤|O1O2|<|R-r| |O1O2|=0 外切 相交 内切 内含 同心圆 (一种特殊的内含) r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 几何法 新课探究 追问：类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？ 提示： 代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 圆C1方程 圆C2方程 消元 Δ < 0⇒ . Δ＝0⇒ , 相交 内切或外切 外离或内含 Δ > 0⇒ , 代数法 归纳总结 外离 内切 外切 内含 相交 两圆的位置关系 图形 d与R，r的关系 公切线的条数 交点个数 2 4 3 0 1 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r 0≤d<R-r 1 0 2 1 0 几何法 代数法 典例分析 分析： 几何法 代数法 典例分析 几何法：圆心距d与两圆半径r1，r2的关系 法一 典例分析 ① ② ①-②化简得： 代入①化简得 代数法：联立方程组观察解的个数 归纳总结 研究两圆的位置关系的两种方法： （2）几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系. （1）代数法：联立两者方程看是否有解. 代数法的一般步骤 （1）把两圆的方程联立成方程组； （2）消去y(或x)得到关于x(或y)的 一元二次方程； （3）求出△； （4）判断△的符号，得出结论： ①若△<0，则两圆内含或外离； ②若△=0，则两圆内切或外切； ③若△>0，则两圆相交． 几何法的一般步骤 （1）把两圆的方程化成标准方程； （2）求出两圆的圆心坐标及半径R，r； （3）求两圆的圆心距d； （4）比较d与R-r，R+r的大小得出结论 ①若d>R+r ，则两圆外离； ②若d=R+r，则两圆外切； ③若R-r<d<R+r ，则两圆相交； ④若d=R-r ，则两圆内切； ⑤若0≤d<R-r ，则两圆内含． 典例分析 思考： 代数法的缺点 追问： 几何法 典例分析 追问1：已知圆C1: x2+y2+2x+8y−8=0 圆C2: x2+y2−4x−4y−2=0,求两圆公共弦的直线方程 ① ② ①-②化简得： 两圆的交点A、B坐标是方程组的解，则A、B坐标满足方程③， ③为两圆公共弦所在直线方程. 求两圆公共弦所在直线方程的方法：两圆方程相减 典例分析 追问2：已知圆C1: x2+y2+2x+8y−8=0 圆C2: x2+y2−4x−4y−2=0,求求两圆公共弦的弦长 巩固练习 解： 练习1： 巩固练习 练习2： 解： 典例分析 分析： 我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的 轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程 的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系． 解： 典例分析 典例分析 思考： 归纳总结 坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 第一步 ：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 巩固练习 巩固练习 巩固练习 课堂总结 圆与圆的位置关系： 圆与圆的位置关系： 相交圆的公共弦： 坐标法解决平面几何问题的步骤 判断方法： $