高考试题的解与变式题（2025年全国一卷T17）讲义-2026届高三数学一轮复习

高考试题的解与变式题

2025年全国一卷T17/19及变式题

湖北天门   薛德斌  

【要点】立体几何＋外接球＋空间球的方程（设球心＋列方程组＋解方程组）＋几何证明＋三角函数＋解三角形．

空间直角坐标系中，球心为，半径为的球面的方程为

．

 

17．【2025年全国一卷T17/19】如图所示的四棱锥中，平面，，．

（1）证明：平面平面；

（2），，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．

（i）证明：在平面上；

（ii）求直线与直线所成角的余弦值．

 

 

19．【2025年1月八省联考T19/19】在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点．

（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．

（i）证明：平面平面；

（ii）求球O的半径；

（2）求二面角的余弦值的最小值．

 

19．【广东省六校联盟2026届高三第一次联考T19/19】在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点．

（1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积．

（2）记三棱锥外接球半径为；

①求的最小值；

②当最小时，求异面直线AB，CP所成角．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17．【2025年全国一卷T17/19】如图所示的四棱锥中，平面，，．

（1）证明：平面平面；

（2），，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．

（i）证明：在平面上；

（ii）求直线与直线所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）．

【要点】立体几何＋外接球＋空间球的方程＋几何证明

【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直；

（2）（i）解法一：设球心＋直接列方程组＋解方程组．

解法二：几何法＋先求的外心再验证．

解法三：平面解析几何＋直线方程＋先求的外心再验证．

（ii）解法一：空间向量．

解法二：平移．

解：（1）在四棱锥中，⊥平面，，

平面，平面，∴，，

∵平面，平面，，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）（i）解法一：（设球心＋直接列方程组＋解方程组）

建立空间直角坐标系如下图所示，则，，