精品解析：河南省周口市等2地2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学开学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 预祝你们考试成功！ 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 A. 57.2，3.6 B. 57.2，56.4 C. 62.8，63.6 D. 62.8，3.6 【答案】D 【解析】 【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变． 2. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数减法运算求解，可得复平面对应点的坐标，可得结论. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以对应的点在第四象限. 故选：D. 3. 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成的三角形中，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形表示出，列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】 由可得， 因为, 由正弦定理可得 ， 所以， 则椭圆离心率为. 故选：C. 4. 已知函数图象关于直线对称，则的取值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦型函数的对称性知，即可求解. 【详解】由题意，，得， 当时，， 故选：B 5. 若则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算比较和的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较的大小，由此得到大小关系. 【详解】， ， ， 因为，所以，即 因为，即， 因为， 构造函数， 求导， 当时，，只需分析分子的正负， 设，求导， 因为，所以，则，所以在上单调递增， 那么当时，，即， 所以分子，则，所以在上单调递减， 且，所以，即， 综上可得. 故选：C. 6. 已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项. A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 7. 若函数，满足，且，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】令中，求出，再对两边求导，将代入即可得出答案. 【详解】令，所以，因为，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：B. 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数判断A，根据对数的运算性质与换底公式判断BCD. 【详解】，不是有理数，故A错误； ，是有理数，故B正确； ，是有理数，故C正确； ，有理数，故D正确. 故选:BCD. 10. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可. 【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数， 所以，则， 即，所以4为函数的一个周期. 对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确； 对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同， 由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误； 对C, ，则 又，所以，正确； 对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同， 且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确. 故选：ACD 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（ ） A. ` B. b取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为6 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B， 由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况. 【详解】对于A，. 由正弦定理边角互化可得：， 则，故A错误； 对于B，， 则，当且仅当取等号. 由余弦定理，，又， 则，因，则，故B正确； 对于C，由B分析可知，，则，故C正确； 对于D，由B分析，， 得.. 令，则，由三角形三边关系可得， 则，则. 则，令. 则，令， 因，则在上单调递减， 则，即周长无最大值，恒小于， 故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圆半径，利用圆心与球心的连线垂直于底面构成直角三角形即可求出外接球的半径，进而可得其表面积. 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 13. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3 【解析】 【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果． 详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列， ∴S7==381，解得a1=3．故答案为3. 点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 14. 已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不等式成立的的最小值为_____. 【答案】12 【解析】 【分析】分别讨论为奇数和偶数时，的解，得的最小值. 【详解】由，得， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 则当为奇数时，， 由，解得，而为奇数，则； 当为偶数时，，由，解得， 所以使得不等式成立的的最小值为12. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前48项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程求解等比数列的公比和首项，进而求得通项公式； （2）通过裂项求和求解 【小问1详解】 设公比为，由，有，解得. 又由，有，解得. 故，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由， 有. 16. 已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆：的离心率，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得， 设，显然， 则，， 所以 . 17. 在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由根与系数的关系得，矛盾，所以不存在；（2）求出过A，B，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长. 试题解析：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设,,则满足，所以. 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况. （2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为. 由（1）可得，所以AB的中垂线方程为. 联立又，可得 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径 故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略： （1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：； (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 18. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 【答案】（1） （2）①，；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可； （2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于. 【小问1详解】 设中点B的坐标为， 对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义， 可知直线l的方程为，即l：． 【小问2详解】 ①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或， 所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，． ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 19. 动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：直线过定点； （ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程； （2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而得出定点坐标； （ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出的定点坐标，表示出，由基本不等式得出结果. 【小问1详解】 设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，， 因为与，都内切， 所以，， 所以， 又，，故， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的方程为：， 则，，所以， 故的方程为：. 【小问2详解】 （i）证明：设，，， 由题意中的性质可得，切线方程为， 切线方程为， 因为两条切线都经过点，所以，， 故直线的方程为：，显然当时，， 故直线经过定点. （ii）设直线的方程为：， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，所以直线的方程为， 令得， ， 所以直线经过定点，又， 所以 ， 所以，当且仅当时，即时取等号. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学开学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 预祝你们考试成功！ 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 A. 57.2，3.6 B. 57.2，56.4 C. 62.8，63.6 D. 62.8，3.6 2. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成的三角形中，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项. A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049 7 若函数，满足，且，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算结果为有理数的是（ ） A. B. C D. 10. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（ ） A. ` B. b取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 13. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 14. 已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不等式成立的的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前48项和. 16. 已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 17. 在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 18. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 19. 动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：直线过定点； （ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $