第二十八章 二次函数 同步习题 2025-2026学年人教版（五四制）数学九年级上册

第二十八章 二次函数 同步习题 一、单选题 1．若点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．点在抛物线上，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路(阴影部分)，空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（      ）    A． B． C． D． 5．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 6．已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，①abc＜0；②b-2a=0；③a+b+c＜0；④4a+c＜2b；⑤am2+bm+c≥a-b+c，上述给出的五个结论中，正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点纵坐标是－3 D．当时，函数值随值的增大而增大 二、填空题 9．将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式为 ． 10．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是 . 11．如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为 ． 12．抛物线经过、两点，若关于的一元二次方程的一个解为，则 ． 13．已知抛物线与x轴的交点为和，则因式分解的结果是 14．抛物线的顶点坐标是 ，开口方向 ，对称轴是 ；当时，随的增大而 ；它可由抛物线向 平移 个单位长度得到. 三、解答题 15．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积． 17．已知一条抛物线过点（3，2）和（0，1），且它的对称轴为直线x=3．试求这条抛物线的解析式． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和B． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)若D为抛物线上一点，且在点A和点B之间（不包括点A和点B），求点D的纵坐标的取值范围； (3)已知M是直线上一点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个交点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A A A D B C 1．C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据知图像开口向下，且对称轴为，当时，随的增大而减小，据此可得答案．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数，且， ∴该二次函数的图像开口向下，且对称轴为， 又∵点，，在函数的图像上，且， ∴，，的大小关系是：． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为轴， ∵点在抛物线上， ∵，离对称轴越远，函数值越大， ∴ 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 4．A 【分析】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为米，宽为米的矩形的面积，以此即可求解． 【详解】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动，    则空白部分为矩形，长为米，宽为米， 绿地面积与之间的函数表达式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 6．D 【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得，求得，求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合已知当时，随的增大而减小，可得，据此即可求得答案. 【详解】， 抛物线与轴没有公共点， ，解得， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上， 而当时，随的增大而减小， ， 实数的取值范围是， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 7．B 【分析】由抛物线开口方向判断a的符号，然后由对称轴位置判断b的符号，再根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，即可判断①；根据对称轴，可判断②；由图像可得当x=1时，y=a+b+c＞0，可判断③；当x=-2时，y=4a-2b+c，根据对称性可知x=-2与x=0时y相等，可判断④；由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c为最小值，据此可判断⑤. 【详解】①抛物线开口向上，a＞0，对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”可知b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以abc＜0，故①正确； ②由图像可知，，所以，即，故②正确； ③由图像可得当x=1时，y=a+b+c＞0，故③错误； ④∵抛物线对称轴x=-1，当x=0时，y＜0， ∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，所以4a+c＜2b，故④正确； ⑤由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c为最小值， 当x=m时，y= am2+bm+c，所以am2+bm+c≥a-b+c，故⑤正确； 所以①②④⑤正确，故选B. 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像与系数之间的关系是解题的关键. 8．C 【分析】根据a=2>0，得出图象的开口向上，可判定A；将解析式化成顶点式为，可得出图象的对称轴是直线x=1，可判定B；由顶点式得出图象的顶点纵坐标是－3，可判定C；由抛物线图象的开口向上，对称轴是直线x=1，可得当时，函数值随值的增大而增大，可判定D． 【详解】解：A、∵， ∴a=2>0， ∴图象的开口向上，故本选项错误不符合题意； B、∵， ∴图象的对称轴是直线x=1，故本选项错误不符合题意； C、∵， ∴图象的顶点纵坐标是－3，故本选项正确符合题意； D、∵， ∴a=2>0， ∴图象的开口向上，图象的对称轴是直线x=1， ∴当时，函数值随值的增大而增大，故本选项错误不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，主要考查学生的观察能力和理解能力，用了数形结合思想． 9．y=x2-10x+27． 【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（1，-1）， 平移后抛物线顶点坐标为（-5，2）， 又因为平移不改变二次项系数， ∴所得抛物线解析式为：y=（x-5）2+2．即y=x2-10x+27． 故答案为：y=x2-10x+27． 10．4. 【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可. 【详解】∵在中：， ∴其图象开口向下，顶点坐标为（0，4）， ∴其最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】熟记“二次函数的图象的顶点坐标为”是解答本题的关键. 11．0 【分析】根据对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为，代入解析式求解即可； 【详解】如解图，设抛物线与轴的另一个交点是， ∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与轴的一个交点是， ∴与轴的另一个交点， 把(，0)代入解析式得：， ． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键． 12．1或 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程a（x-h）2+k=0的解为x1=-1，x2=5，再把方程a（x-h+m）2+k=0可看作关于x+m的一元二次方程，则x+m=-1或x+m=5，然后把x=4代入可计算出m的值． 【详解】解：∵抛物线y=a（x-h）2+k经过（-1，0）、（5，0）两点， ∴关于x的一元二次方程a（x-h）2+k=0的解为x1=-1，x2=5， ∵关于x的一元二次方程a（x-h+m）2+k=0可看作关于x+m的一元二次方程， ∴x+m=-1或x+m=5， 而关于x的一元二次方程a（x-h+m）2+k=0的一个解为x=4， ∴4+m=-1或4+m=5， ∴m=-5或1． 故答案为-5或1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 13． 【分析】已知抛物线与x轴的两交点坐标，可得抛物线的交点式，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为和，且， ∴抛物线的解析式用交点式表示为， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的一般式与交点式的关系，利用这一特点可将多项式因式分解． 14． ； 向上； ； 增大； 右； . 【分析】由是二次函数的顶点式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，根据二次函数的性质可知顶点坐标为（）；二次项系数为3＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=，当时，在对称轴的右侧，随的增大而增大；根据平移规律可知，它可由抛物线向右平移个单位长度得到. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的性质，顶点式为y＝a（x−h）2＋k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，对称轴为x＝h． 15．(1)（36-3x） (2)8 (3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 16．(1) (2)15 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）直接根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 17．y=﹣（x﹣3）2+2． 【分析】根据对称轴可设抛物线的顶点式，将（3，2）和（0，1）代入可得方程组，解方程组即可的抛物线解析式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=3， ∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2+k， 由抛物线过点（3，2）和（0，1）可得： ，解得：， 故抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣3）2+2． 考点：待定系数法求二次函数解析式． 18．(1)抛物线为： 一次函数为 (2) (3)点M的横坐标的取值范围为或 【分析】（1）把分别代入二次函数与一次函数的解析式即可得到答案； （2）先求解B点坐标及抛物线的顶点坐标，从而可得答案； （3）M是直线上一点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，设 所以 线段与抛物线只有一个交点，显然，在线段AB上，当M与A，B重合时，符合题意，当M不与A，B重合时，当N落在抛物线上时有再解方程可得答案． 【详解】（1）解： 抛物线与直线交于点， 解得： 所以抛物线为：， 一次函数为 （2）解：由题意可得： 解得： 而 所以顶点坐标为： D为抛物线上一点，且在点A和点B之间（不包括点A和点B），则点D的纵坐标的取值范围为： （3）解：， 直线为， 抛物线的顶点为 当时，此时直线上的点的坐标为： M是直线上一点，将点M向下平移2个单位长度得到点N， 设， 所以 线段与抛物线只有一个交点， 在线段上， 当M与A，B重合时，符合题意， 当M不与A，B重合时，当N落在抛物线上时有 解得： 所以点M的横坐标的取值范围为或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与抛物线的解析式，二次函数的性质，顶点坐标，点的平移，理解题意，建立方程求解是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $