第28章 二次函数 单元练习 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

第28章 二次函数 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式是(    ) A. B. C. D. 3.将抛物线向左平移个单位长度后，得到新抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是(    ) A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 5.赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于(    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数的的部分对应值如下表： 则二次函数图象的对称轴为(    ) A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7.已知，是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是(    ) A. B. C. D. 8.二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：；；；，其中错误结论的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知二次函数，若当时，随的增大而增大，则的取值范围是          ． 10.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为______． 11.抛物线的图象先向右平移个单位再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则          ． 12.如图，正方形的边长为，是上一点，是延长线上的一点，若四边形是矩形，则矩形的面积与的长的函数关系式是          ． 13.如图所示，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙墙足够长，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当           时，养鸡场的面积最大． 14.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则关于的函数表达式为          ． 15.二次函数的图象如图所示，若，则、的大小关系为________填“”、“”或“”  16.崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线单位：米的一部分．则水喷出的最大高度是______米． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 某商场试销一种商品，成本为每件元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，   且获利不得高于一段时间后发现销量件与销售单价元之间满足如下一次函数关系： 销售单价元 销售量件    请根据表格中所给的数据，求出关于的函数解析式，并写出销售单价的取值范围；    设商场所获利润为元，当商品的销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？   最大利润是多少？ 18.本小题分 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为 求该抛物线的解析式； 求梯形的面积． 19.本小题分 某创新公司生产营销，两种新产品，根据市场调研，发现如下信息： 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在二次函数关系，当时，当时，． 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题： 求，的值 该公司准备生产营销，两种产品共吨，请设计一个生产方案，使销售，两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少 20.本小题分 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为，高为请通过计算说明，当抽屉底面的宽为何值时，抽屉的体积最大最大为多少材质及其厚度等暂忽略不计 21.本小题分 如图，抛物线与直线相交于点，，与轴相交于点，其中点的横坐标为． 求出，的值． 求出抛物线与轴的交点坐标． 22.本小题分 如图，在水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为有人在直线上点靠点一侧处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计．     如果竖直摆放个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？     当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：抛物线解析式为， 二次函数图象的顶点坐标是． 故选：． 根据顶点式可直接写出顶点坐标． 本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标。 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积大正方形的面积小正方形的面积得出是解题关键． 根据剩下部分的面积大正方形的面积小正方形的面积得出与的函数关系式即可． 【解答】 解：设剩下部分的面积为，则： ， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键． 直接利用配方法将原式变形为，进而利用平移规律得出答案． 【解答】 解：因为， 所以抛物线向左平移个单位长度后， 得到新抛物线的函数表达式为． 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的值越大，即可解答本题． 【解答】 解：由题意可得， 当秒时，取得最大值， 二次函数具有对称性，抛物线开口向下，离秒越近，值越大， 在各个选项中，当第秒时，取得最大值， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：根据题意的横坐标为， 把代入， 得， ，， 即水面与桥拱顶的高度等于． 故选：． 根据题意，把直接代入解析式即可解答． 此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单． 由于、时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【解答】 解：和时的函数值都是， 对称轴为直线． 故选D． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点． 根据二次函数与一次函数可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】 解：解得或． 故二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的交点在轴上为或点． 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，，，故选项A有可能； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，，由，则，故选项B有可能； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，，，故选项C有可能； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，由，则，故选项D不可能； 故选D． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键． 对称轴为，得；函数图象与轴有两个不同的交点，得；当时，，当时，，得；由对称性可知时对应的值与时对应的值相等，当时，，． 【解答】 解：由图象可知，，对称轴为， ， ，正确； 函数图象与轴有两个不同的交点， ，正确； 当时，， 当时，， ， ，正确； 由对称性可知时对应的值与时对应的值相等， 当时，， ， ， ，错误； 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，主要利用二次函数的增减性，根据二次函数的对称轴不大于，列式计算即可解得． 【解答】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 10.【答案】  【解析】解：抛物线与轴只有一个公共点， ， ； ． 故答案为：． 由抛物线与轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程，根的判别式，由此即可得到关于的方程，解方程即可求得的值． 此题主要考查了二次函数根的判别式和抛物线与轴的交点个数的关系． 11.【答案】  【解析】【分析】 直接利用配方法将原二次函数解析式变形，进而利用平移规律得出答案． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 【解答】 解：， 抛物线的图象先向右平移个单位再向下平移个单位，所得图象的解析式为， ， ，， 故． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 设的长度为，则，，根据矩形的面积即可得出关于的函数关系式，此题得解． 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据矩形的面积找出关于的函数关系式是解题的关键． 【解答】解：的长为，则，， 所以 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查根据实际问题列二次函数关系式及二次函数的应用． 由条件可用含的式子表示出鸡场的宽，进而得到面积与的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得答案． 【解答】 解：设养鸡场平行于墙的一边长为，，则宽为，设养鸡场的面积为， 根据题意可得， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值， 即当时，养鸡场的面积最大， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题考查利用待定系数法求二次函数的解析式，设顶点式解析式，代入点，即可得出解析式． 【解答】 解：二次函数的图象的顶点坐标为， 可设二次函数为， 又因为二次函数图象过点， 则， 解得， 所以， 即． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】 解：当时，， 当时，， ， 即， 故答案为： 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【解答】 解：水在空中划出的曲线是抛物线， 喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标， ， 顶点坐标为：， 喷水的最大高度为米， 故答案为：． 17.【答案】解：根据所给数据可知与的图象是一条直线．设与的函数关系式为． 将，；，代入得： 解得： 经验证，，；，都满足上述函数关系式 与的函数关系式为，； 由题意得：， ． ， 抛物线开口向下． ，在对称轴的左侧， 随的增大而增大． 当时，有最大值，元． 答：商品的销售单价定为元时，才能使所获利润最大，最大利润时元．   【解析】本题主要考查的是二次函数的最值问题，确定抛物线的对称轴以及自变量的取值范围是解题的关键． 设与的函数关系式为，利用待定系数法求得函数的解析式即可； 先求得单价的定价范围，然后根据利润每件获利件数列出利润的函数关系式，然后根据自变量的取值和二次函数的对称性即可求得最大利润． 18.【答案】解：将代入中，得：， 解得：， 则抛物线解析式为；   【解析】将坐标代入抛物线解析式，求出的值，即可确定出解析式； 抛物线解析式令求出的值，求出的长，根据对称轴求出的长，令求出的值，确定出的长，利用梯形面积公式即可求出梯形的面积． 此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19.【答案】解：将，，代入， 得解得 设生产产品吨，生产产品吨， 销售，两种产品获得的利润之和为万元， 则． ， 当时，有最大值． 生产产品吨，生产产品吨，销售，两种产品获得的利润之和最大，最大利润是万元．   【解析】见答案 20.【答案】解：当底面的宽为时，抽屉的体积最大，最大为．  【解析】见答案 21.【答案】解：把和代入， 得 解得 由知，抛物线的解析式为． 当时， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，．  【解析】见答案 22.【答案】解：以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系如图， ，，， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点和点， 则，． 抛物线解析式为：； 当时，； 当时，． ，在抛物线上； 当竖直摆放个圆柱形桶时，桶高， 且， 网球不能落入桶内． 设竖直摆放圆柱形桶个时网球可以落入桶内， 由题意，得，， 解得：； 为整数， 的值为，，，，． 当竖直摆放圆柱形桶，，，或个时，网球可以落入桶内．  【解析】本题主要考查了抛物线的应用问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础． 以抛物线的对称轴为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式； 由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定的范围，根据为正整数，得出的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数． 第6页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$