5.6.1匀速圆周运动的数学模型 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.6.1　匀速圆周运动的数学模型

1. 结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，会用“五点法”画出函数y＝A sin (ωx＋φ)的简图．

2. 能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．

活动一  匀速圆周运动的数学模型

问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图1）.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图2）.

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？

      

图1                  图2

 

　　

 

 

 

 

 

 

 

思考1►►►

与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

 

 

 

例1　如图，摩天轮的半径r为40 m，圆心O距地面的高度为48 m，摩天轮做逆时针匀速转动，每 30 min 转一圈．摩天轮上点P的起始位置在最低点处．如何确定在时刻t（单位：min）时，点P距离地面的高度H？

 

 

 

 

活动二　掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)简图的作法，理解y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象的关系　

思考2►►►

(1) 写出用“五点法”作y＝sin x的图象的五个关键的点；

 

 

 

 

(2) 在同一坐标系中观察y＝cos x的图象和 y＝sin x的图象，思考y＝cos x的图象如何由y＝sin x的图象平移得到？

 

 

 

 

思考3►►►

作出函数y＝sin 和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系．

 

 

 

 

 

 

思考4►►►

函数y＝sin 的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？

 

 

例2　若y＝f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到y＝sin 的图象，则f(x)＝　　　　　　．

函数y＝sin (x＋φ)的图象可以看作是将函数 y＝sin x的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移|φ|个单位长度而得到的．

思考5►►►

作出函数y＝sin 2x和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系．

 

 

 

 

 

 

 

思考6►►►

函数y＝sin x的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？

 

 

 

 

 

 

函数y＝sin ωx（ω＞0且ω≠1）的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）而得到的．

思考7►►►

作出函数y＝sin 和y＝sin 2x的图象，并找出两图象之间的关系．