5.5.2简单的三角恒等变换 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.2　简单的三角恒等变换(1)

1. 能用二倍角公式推导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式推导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．

2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

活动一  半角公式的推导及理解

我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下几个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．

思考1►►►

α与有什么关系？

 

 

 

例1　用cos α表示sin2，cos2，tan2.

 

 

 

 

 

 

思考2►►►

sin2＝，cos2＝，tan2＝这三个式子有什么共同特点？

 

 

 

求证：tan ＝＝.

 

 

 

 

 

 

1. 例1的结果还可以表示为：sin ＝± ，cos ＝± ， tan ＝± ，并称之为半角公式，符号由角所在象限决定．

2. 降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明．

3. 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．

活动二  积化和差与和差化积公式的推导及理解

例2　求证：

(1) sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；

(2) sin θ＋sin φ＝2sin cos .

 

 

 

 

 

 

求证：

(1) cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]；

(2) sin θ－sin φ＝2 cos sin .

 

 

 

 

本例的证明过程中用到了换元的思想，如将α＋β看作θ，α－β看作φ，从而将包含 α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，将sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，将等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．

活动三　三角函数式的化简求值　

例3　(1) 已知α∈，化简：＋＝　　　　；

(2) －＝　　　　．

若α∈，且cos α＝，则＝　　　　．

化简问题中的“三变”：

(1) 变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2) 变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3) 变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．

活动四  证明三角恒等式

例4　求证：＝1－.