5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)

1. 经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义．

2. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．

活动一  推导两角差的余弦公式

前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？本节开始研究这个问题．

思考1►►►

如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α－β的余弦吗？

 

 

 

　

两角差的余弦公式

思考2►►►

你能利用差角的余弦公式求cos 15°的值吗？

 

 

例1　利用公式C(α－β)证明：

(1) cos ＝sin α；

(2) cos (π－α)＝－cos α.

 

 

 

 

 

 

 

活动二　给角求值问题

例2　(1) cos 的值为(　　)

A. 　　　　　    B.

C. 　　　　　    D. －

(2) 求下列各式的值：

①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；

②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°.

 

 

 

 

 

 

 

 

化简下列各式：

(1) cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)·sin (θ－24°)；

(2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.

 

 

 

 

 

 

 

解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：

(1) 把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．

(2) 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．

活动三　给值（式）求值问题　

例3　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值．

 

 

 

 

 

思考3►►►

若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？

 

 

 

 

思考4►►►

利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？

 

 

 

 

 

已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值．