5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

1. 了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．

2. 能利用正、余弦函数的图象解决简单问题．

3. 掌握正、余弦函数图象的区别与联系.

活动一  掌握正弦函数的图象

为了更加直观地研究三角函数的性质，我们可以先作出它们的图象，那么如何作出三角函数的图象？

 

 

 

 

思考1►►►

在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？

 

 

 

 

 

 

问题　借助单位圆和正弦函数的定义，作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．

 

 

 

 

 

 

思考2►►►

根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sin x，x∈R的图象吗？

 

 

思考3►►►

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

 

 

 

 

 

 

在精确度要求不太高时，我们常常先找出五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种作图方法称为“五点法”．

活动二  掌握余弦函数的图象

思考4►►►

你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

 

 

 

 

 

 

思考5►►►

余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上起到关键性作用的点有哪些？

 

 

 

 

 

正弦函数、余弦函数图象上的关键点的异同：作余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象时，其中起关键作用的是函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象的最高点、最低点及其与x轴的交点．与正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象相比：二者的图象的最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有两个，而正弦函数的图象与x轴的交点有三个；余弦函数图象的最高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个．

活动三　掌握用“五点法”作三角函数的图象　

例　画出下列函数的简图：

(1) y＝1＋sin x，x∈[0，2π]；

 

 

 

 

(2) y＝－cos x，x∈[0，2π].

 

 

 

 

 

 

 

　

1. 解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y的值，作出图象．

2. 五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．

作出下列函数的简图：

(1) y＝－1－cos x，x∈[0，2π]；

 

 

 

 

(2) y＝＋sin x，x∈[0，2π].

 

 

 

 

 

思考6►►►

你能利用函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝－cos x， x∈[0，2π]的图象？