5.2三角函数的概念 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2　三角函数的概念

5.2.1　三角函数的概念(1)

1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．

2. 掌握三角函数的定义域，会求给定角的三角函数值．

活动一  三角函数的定义（单位圆法）

如图，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况．

思考1►►►

什么是单位圆？

 

 

 

 

 

 

根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题．

如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.

思考2►►►　

当α＝时，点P的坐标是什么？ 当α＝或 α＝时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

 

 

思考3►►►　

一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

 

 

 

 

 

 

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y).

(1) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；

(2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；

(3) 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) .

＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．

我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数　y＝sin x，x∈R；

余弦函数　y＝cos x，x∈R；

正切函数　y＝tan x，x∈{x|x≠＋kπ(k∈Z)}．

例1　(1) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值；

(2) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β的值为(　　 )

A. －    B. －

C.       D.

(2) 已知角α的终边经过点（－，－），则sin α＝　　　　，cos α＝　　　　，tan α＝　　　　．

单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．

活动二　坐标法求三角函数值　

思考4►►►　

初中所学的“锐角的正弦、余弦、正切”是放在什么三角形中定义的？它与x，y，r，α之间有什么联系？

 

 

思考5►►►　

对于确定的锐角α，上述三个比值是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？

 

 

思考6►►►　

对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离r怎样用x，y来表示？比值，，是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？

 

 

 

思考7►►►