专题01 函数的定义域、值域、解析式（专项训练8大重点题型）高一数学人教A版2019必修第一册

专题01 函数的定义域、值域、解析式 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、具体函数的定义域（含同一函数的判断）（常考点） 1 题型二、一次、二次、反比例函数的值域 3 题型三、分式型函数的值域（难点） 5 题型四、根式型函数的值域 7 题型五、待定系数法求解析式 9 题型六、换元法求解析式（重点） 11 题型七、配凑法求解析式 12 题型八、方程组法求解析式 13 B综合攻坚・能力跃升 15 题型一、具体函数的定义域（含同一函数的判断）（常考点） 1．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由，得或，所以函数的定义域为或． 由得，所以函数的定义域为． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为， 函数的定义域为，是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，且对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：CD 4．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 题型二、一次、二次、反比例函数的值域 1．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为集合，， 则， 则. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即，由，得，所以． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 4．（24-25高一上·福建漳州·月考）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京东城·期中）有下列四个函数：①；②；③；④.其中值域为R的函数是 . 【答案】① 【分析】分别就四种函数，从定义域和函数式的结构组成考虑，探求其值域即得. 【详解】对于① ，函数的定义域为R，值域也是R，符合题意； 对于② ，函数的定义域为R，因， 则，即函数的值域为，不合题意； 对于③ ，函数的定义域为R， 因，则， 即函数的值域为，不合题意； 对于④ ，函数的定义域为， 当时，，当时，， 即函数的值域也是，不合题意. 故答案为：①. 题型三、分式型函数的值域（难点） 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数后，即可求解. 【详解】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 2．（24-25高一上·安徽合肥·月考）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可． 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 3．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 题型四、根式型函数的值域 1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 2．已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果. 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 3．函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的最小值为1. 故答案为：1 4．（23-24高一上·安徽淮南·期中）的值域是 【答案】 【分析】根据函数解析式，求得其定义域，结合值域的定义，可得答案. 【详解】由函数，则，解得， 所以函数的定义域为，由，则其值域为. 故答案为：. 5．已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 6．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得替换化简结合分式不等式解得函数值域. 【详解】由题意得得则， 得，解得或． 故函数的值域为． 故答案为：. 题型五、待定系数法求解析式 1．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 2．已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 3．（23-24高一上·云南昭通·月考）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 题型六、换元法求解析式（重点） 1．已知，则 ． 【答案】 【分析】换元法求解函数解析式. 【详解】令，则，故，故 故答案为： 2．已知，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据题干条件求出的表达式，直接代入计算即可得到答案. 【详解】令，则，进一步可得， ， ， 故答案为：3. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，求 ． 【答案】 【分析】令，求解代入计算可得，从而求出. 【详解】因为函数， 令，则， 因为，所以， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】3 【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令， ， ， ， ． 故答案为：3． 题型七、配凑法求解析式 1．（24-25高一上·甘肃白银·期中）已知函数对任意的满足等式，则= ． 【答案】 【分析】利用配凑法求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一上·吉林长春·月考）若，则 . 【答案】2 【分析】根据已知求得函数解析式，进而求解结果. 【详解】因为，即， 所以，故，所以. 故答案为：2. 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据两个函数的解析式可得出的表达式. 【详解】对于函数，有， 又因为，故. 故答案为：. 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）若函数，则 . 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数，又的值域为， ， 故答案为：. 题型八、方程组法求解析式 1．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 2．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 4．已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 2．若函数的定义域为，值域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求函数的定义域和值域，再求即可. 【详解】由有意义可得， 所以， 所以， 所以函数的定义域， 由，可得， 所以函数的值域 所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 4．（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域. 【详解】A：在上递减，在上递增，值域为，错； B：在上递增，值域为，错； C：在取等号，结合对勾函数性质知，在上的值域为，错； D：在上递增，故值域为，对. 故选：D 5．（23-24高一上·福建厦门·月考）函数的值域是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，即可求解值域. 【详解】函数的定义域满足，解得或，所以函数的定义域为， 当时，当时， 所以函数的值域是. 故选：D 6．（24-25高一上·吉林四平·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解. 【详解】函数中，，， 则 ， 而，因此， 所以函数的值域为. 故选：A 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由，得或，所以函数的定义域为或． 由得，所以函数的定义域为． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为， 函数的定义域为，是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，且对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：CD 8．（24-25高一上·重庆万州·期中）（多选题）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由同域函数的定义，讨论选项中函数的定义域和值域即可. 【详解】对于A，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，A选项正确； 对于B，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，B选项正确； 对于C，对于函数，其定义域为，当时，，所以不是同域函数，C选项错误； 对于D，因为，由得， 所以的定义域与值域均为，所以是同域函数，D选项正确. 故选：ABD. 9．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，代入运算整理即可. 【详解】令，则， 可得，所以. 故答案为：. 10．函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则 ． 【答案】（且） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，（且）， 则， 所以,且，所以（且）． 故答案为：（且）． 12．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】(1)要使函数有意义，只需令，其解集即为函数的定义域. (2)要使函数有意义，需满足,其解集即为的定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 14．求下列函数的值域． (1)； (2)； 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）利用函数的单调性可求出最值，可求得值域； （2）将函数式分离常数，结合反比例函数的值域可得解. 【详解】（1）解：由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （2）解：由函数， 可得其定义域为，则，即， 所以函数的值域为且. 15．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 16．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）采用分离常数法可知即可得其值域为； （2）利用换元法，将原函数表示为，根据二次函数单调性可求得结果； （3）求得函数定义域为，求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）由于，且； 所以可得， 因此函数的值域是． （2）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为； ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）（3）利用换元法即可求解. （4）利用方程组法即可得到答案； 【详解】（1）设． ∵， ，解得或， ∴或． （2）令则． ∵， ∴． （3）令，，则，即． ∵， ∴， ∴． （4）∵，① ∴．② 得， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的定义域、值域、解析式 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、具体函数的定义域（含同一函数的判断）（常考点） 1 题型二、一次、二次、反比例函数的值域 2 题型三、分式型函数的值域（难点） 2 题型四、根式型函数的值域 3 题型五、待定系数法求解析式 3 题型六、换元法求解析式（重点） 3 题型七、配凑法求解析式 3 题型八、方程组法求解析式 4 B综合攻坚・能力跃升 4 题型一、具体函数的定义域（含同一函数的判断）（常考点） 1．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 题型二、一次、二次、反比例函数的值域 1．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 4．（24-25高一上·福建漳州·月考）函数的值域 ． 5．（23-24高一上·北京东城·期中）有下列四个函数：①；②；③；④.其中值域为R的函数是 . 题型三、分式型函数的值域（难点） 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 2．（24-25高一上·安徽合肥·月考）函数的值域为 ． 3．函数的值域为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 题型四、根式型函数的值域 1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数 ，则函数的值域为 ． 3．函数的最小值为 . 4．（23-24高一上·安徽淮南·期中）的值域是 5．已知函数，则的值域为 . 6．函数的值域为 ． 题型五、待定系数法求解析式 1．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 2．已知是一次函数．且．求函数的解析式． 3．（23-24高一上·云南昭通·月考）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 题型六、换元法求解析式（重点） 1．已知，则 ． 2．已知，则的值为 . 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，求 ． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 题型七、配凑法求解析式 1．（24-25高一上·甘肃白银·期中）已知函数对任意的满足等式，则= ． 2．（24-25高一上·吉林长春·月考）若，则 . 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则 ． 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）若函数，则 . 题型八、方程组法求解析式 1．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，则 . 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域为，值域为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建厦门·月考）函数的值域是（    ） A． B． C．0 D． 6．（24-25高一上·吉林四平·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·重庆万州·期中）（多选题）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则 . 10．函数在上的值域为 . 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则 ． 12．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 13．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 14．求下列函数的值域． (1)； (2)； 15．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $