第四章指数函数与对数函数本章复习导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章　指数函数与对数函数 本 章 复 习

1. 了解n次方根，根式的概念及其性质．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

2. 理解指数函数、对数函数的概念．会用函数图象和代数运算的方法研究指数函数与对数函数的性质，并能综合运用其解决简单的问题．

3. 掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）.体会数形结合思想、函数方程思想的应用．

4. 会利用已知的函数模型解决问题，能根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．

活动一  构建知识网络

 

活动二  数的大小比较

数的大小比较常用方法：

(1) 比较两数（式）或几个数（式）的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．

(2) 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(3) 比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0且小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

例1　已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A. a＜b＜c   

B. c＜b＜a

C. b＜a＜c   

D. b＜c＜a

已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)

A. c＜a＜b    B. a＜b＜c

C. b＜c＜a    D. b＜a＜c

活动三  对（指）数方程的求解

例2　求下列各式中的x：

(1) 3－2＝10；

 

 

 

 

 

 

(2) log a x＝log ac＋b.

 

 

 

 

 

 

解方程：log2(4x＋4)＝x＋log2(2x+1－3).

 

 

 

 

 

 

活动四  与指数、对数有关的应用问题

例3　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v＝5log2（单位：m/s），其中Q表示燕子的耗氧量，则一只两岁燕子静止时的耗氧量是　　　　单位．

地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4).A地的地震级别为9.0级，B地的地震级别为8.0级，那么A地地震释放的能量是B地地震释放能量的　　　　倍．

活动五　复合函数的单调性　

1. 一般地，对于复合函数y＝f(g（x)），如果t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g（a)，g(b)）或者(g（b)，g(a)）上是单调函数，那么y＝f(g（x)）在区间(a，b)上也是单调函数．

2. 对于函数y＝f(t)，t＝g(x).

若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域．

例4　已知函数f(x)＝.

(1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；

(2) 若函数f(x)有最大值3，求a的值．