4.5.2用二分法求方程的近似解导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.2　用二分法求方程的近似解

1. 探索二分法求方程近似解的思路并会画程序框图．

2. 能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．

活动一  二分法的概念

我们已经知道，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．

思考1►►►

如何缩小零点所在区间(2，3)的范围？

 

 

 

思考2►►►

区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？

 

 

 

思考3►►►

假设f(2.5)＝0说明什么？

 

 

思考4►►►

如何进一步的缩小零点所在的区间？

 

 

 

 

思考5►►►

若给定精确度0.01，如何选取近似值？

 

 

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 它是求一元方程近似解的常用方法．

运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间．

活动二  二分法求函数零点近似值的步骤

思考6►►►

下列图象对应的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？

　　

 

 

 

用二分法求方程近似解的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

(1) 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0.

(2) 求区间(a，b)的中点c.

(3) 计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)＜0（此时x0∈(a，c)），则令b＝c；

③若f(c)f(b)＜0（此时x0∈(c，b)），则令a＝c.

(4) 判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤(2)～(4) .

由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．

活动三　用二分法求方程的近似解　

思考7►►►

如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？

 

 

 

 

 

 

 

例1　利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解．（精确度为0.1）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件（包括零点），又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.

借助计算器，用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．（精确度为0.1）

 

 

 

 

 

 

 

例2　利用计算器，求方程sin x＝1－x的近似解．（精确度为0.1）

 

 

 

 

 

 

思考8►►►

用二分法求方程的一个近似解的操作流程是怎样的？