4.5.1函数的零点与方程的解导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解

1. 结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．

2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解零点存在定理．

3. 体会并理解函数与方程的相互转化的数学思想．

活动一  函数零点的定义

在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．

思考1►►►

我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln x＋2x－6＝0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？

 

 

 

 

思考2►►►

二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．那么，函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？

 

 

 

 

思考3►►►

你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg (x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？

 

 

 

 

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.

活动二  函数零点存在定理

例1　判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)内是否存在零点．

 

 

思考4►►►

你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点的一般方法吗？

 

 

思考5►►►

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？

 

 

 

思考6►►►

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？

 

 

 

 

 

 

函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.也就是说上述定理不可逆.

活动三　判断零点是否存在　

例2　求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)内存在零点．

 

 

 

 

 

例3　求证：函数f(x)＝2x＋2x－3有零点．

 

 

 

 

 

函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上是否存在零点？为什么？

 

 

 

 

 

 

 

活动四　判断函数零点的个数　

例4　求方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

本题不用计算列表、画图象也可得到结论：(1) 寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，因为f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0.(2) 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论. 也就是将函数 f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数 y＝ln x与y＝－2x＋6图象的交点个数．

根据表格中的数据，可以判断方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 (　　)

A. (－1，0)    B. (0，1)