专题01 勾股定理（期中真题汇编，贵州专用）八年级数学上册北师大版2024

专题01 勾股定理 8大高频考点概览 考点01 勾股数 考点02 判断能否构成三角形或直角三角形 考点03 勾股定理与面积问题 考点04 勾股定理与网格问题 考点05 勾股定理与折叠问题【常考点】 考点06 利用勾股定理求线段的长或角度【高频考点】 考点07勾股定理的应用【难点】 考点08勾股定理逆定理【易错点】 地 城 考点01 勾股数 一、单选题 1．(24-25八上·贵州贵阳第二十八中学·期中)下列各组数中是勾股数的是（  ） A．3，3，5 B．4，6，8 C．7，24，25 D．6，12，13 2．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)下面各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 地 城 考点02 判断能否构成三角形或直角三角形 一、单选题 3．(24-25八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中)下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，12，13 D．9，12，15 4．(24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8 5．(24-25八上·贵州遵义正安县小雅镇小雅中学·期中)在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6．(24-25八上·贵州黔南布依族苗族平塘县·期中)下列长度的各组线段中，能围成三角形的是（   ） A．3，7，10 B．10，5，7 C．3，10，5 D．4，4，10 二、解答题 7．(24-25八上·贵州遵义校联考·期中)已知三角形的三边长分别为3，8， (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 地 城 考点03 勾股定理与面积问题【常考点】 一、单选题 8．(24-25八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中)如图，在中，，分别以和为边向外作正方形，正方形的面积分别为和．若，，则的值为（    ） A．7 B．5 C．13 D．25 9．(24-25八上·贵州六盘水·期中)如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是（   ） A．10 B．25 C．225 D．500 10． (24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．(24-25八上·贵州六盘水·期中)如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 地 城 考点04 勾股定理与网格问题 一、单选题 13．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 14．(24-25八上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 15．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)如图所示的方可格网格纸中，小正方形的边长为，有， 两个格点，试取格点，使得 是直角三角形，则的长为 ． 地 城 考点05 勾股定理与折叠问题 一、单选题 16．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)如图所示，中，，沿对折，使点与点重合，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．(22-23八上·山东济南莱芜区鲁西中学·)如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 18．(24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，已知点I，J在长方形的边上，点E，F在边上，将长方形沿，折叠，使点B，C落在点G处．折叠后点A的对应点为点，点D的对应点为点，连接，，，，则和的长分别为 ． 19．(22-23八上·贵州黔东南苗族侗族·期末)如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是 三、解答题 20．(24-25八上·贵州遵义绥阳县实验中学·)已知，如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，如果，，求 (1)的长； (2)的长． 地 城 考点06 利用勾股定理求线段的长或角度【高频考点】 一、单选题 21．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)，，为直角的三边，如果，，则的长度为（　　） A． B． C．或 D．或 22．(24-25八上·贵州毕节八中·期中)如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（    ） A．7 B．5 C． D．5或 二、解答题 23．(24-25八上·贵州贵阳第二十八中学·期中)在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 24．(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族从江县往洞中学·期中)如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 25．(24-25八上·贵州遵义校联考·期中)如图，是等边三角形，为边上一个动点（与、均不重合）．．，连接． (1)求证：； (2)若，的面积为，求四边形周长的最小值． 26．(24-25八上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)如图，中，，，上一点，使． (1)若平分，求点到的距离； (2)若点恰好在的垂直平分线上，求的周长． 地 城 考点07 勾股定理的应用【难点点】 一、单选题 29．(24-25八上·贵州六盘水·期中)如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 30．(23-24八上·期中复习（压轴题精选50题特训）-·期中)某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．    三、解答题 31．(24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 32．(24-25八上·贵州贵阳第二十八中学·期中)如图所示，这是某市地图的一部分，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示，甲、乙两人对着地图如下描述A处的位置． 甲：A处的坐标是；乙：A处在B处南偏西方向，相距．求B处的坐标． 37．(23-24八下·云南昆明五华区云南民族中学·期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 33．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 34．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 35．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，， ，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． (1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； (2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 36．(24-25八上·贵州遵义绥阳县实验中学·)如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 地 城 考点08 勾股定理逆定理【易错点】 27．(24-25八上·贵州毕节八中·期中)某校根据《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，注重“劳动教育”深度融合，让学生在劳动教育中感受劳动之美，提升综合素养．如图是某班的劳动实践基地，经测量． (1)求的长 (2)求出空地的面积； 28．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片已知底边 ，为上一点，且 ， ． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 8大高频考点概览 考点01 勾股数 考点02 判断能否构成三角形或直角三角形 考点03 勾股定理与面积问题 考点04 勾股定理与网格问题 考点05 勾股定理与折叠问题【常考点】 考点06 利用勾股定理求线段的长或角度【高频考点】 考点07勾股定理的应用【难点】 考点08勾股定理逆定理【易错点】 地 城 考点01 勾股数 一、单选题 1．(24-25八上·贵州贵阳第二十八中学·期中)下列各组数中是勾股数的是（  ） A．3，3，5 B．4，6，8 C．7，24，25 D．6，12，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，不是勾股数，不符合题意，选项错误； B．，不是勾股数，不符合题意，选项错误； C．，是勾股数，符合题意，选项正确； D．，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 故选：C． 2．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)下面各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的特点进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不是勾股数； ，故选项B不是勾股数； ，故选项C是勾股数； ，故选项D不是勾股数； 故选：C． 地 城 考点02 判断能否构成三角形或直角三角形 一、单选题 3．(24-25八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中)下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，12，13 D．9，12，15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟练掌握此知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，，故此选项不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：A． 4．(24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键．根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】A.，不能组成直角三角形，不符合题意； B.，能组成直角三角形，符合题意； C.，不能组成直角三角形，不符合题意； D.，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选择：B 5．(24-25八上·贵州遵义正安县小雅镇小雅中学·期中)在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 6．(24-25八上·贵州黔南布依族苗族平塘县·期中)下列长度的各组线段中，能围成三角形的是（   ） A．3，7，10 B．10，5，7 C．3，10，5 D．4，4，10 【答案】B 【分析】本题主要考查了三条线段能否组成三角形的问题，判断三条线段能否组成三角形，需比较较小两边的和与最大边的关系，若大于，则可构成三角形，反之则不能；确定选项中三条线段的长短，计算较小两条边长的和，与最大边比较，即可解题，熟练掌握三条线段能否组成三角形的条件是解决此题的关键． 【详解】解：A、，因此不能围成三角形，不符合题意； B、，因此能围成三角形，符合题意； C、，因此不能围成三角形，不符合题意； D、，因此不能围成三角形，不符合题意； 故选：B． 二、解答题 7．(24-25八上·贵州遵义校联考·期中)已知三角形的三边长分别为3，8，. (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 地 城 考点03 勾股定理与面积问题【常考点】 一、单选题 8．(24-25八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中)如图，在中，，分别以和为边向外作正方形，正方形的面积分别为和．若，，则的值为（    ） A．7 B．5 C．13 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得出，再由勾股定理得出，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．(24-25八上·贵州六盘水·期中)如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是（   ） A．10 B．25 C．225 D．500 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解． 【详解】解：设正方形的边长分别为,依题意，，即 ∴， ∴ 故选C． 10．(24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了半圆的面积计算公式，正确的根据勾股定理是解题的关键． 【详解】设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 则， ， ， 故选择：C 11．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键．根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，， ， ， 又 ， ， ，， ，， 同理可得：， ， 故选：C． 二、填空题 12．(24-25八上·贵州六盘水·期中)如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，能够从图象上得出及边上的高是解题的关键． 根据图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，而从B到C运动过程中，先变小后变大，从而可确定的长度以及边上的高，从而利用勾股定理即可求出的长度，最后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，运动到点B时最大，所以 ， 而点P从B到C运动过程中，先变小后变大，当时，最小，此时为边上的高，长度为4，然后继续向点C运动，到C点时最大，所以． 如图，当时， ∵，，， ∴ ． ∵，， ， ， 故答案为：12． 地 城 考点04 勾股定理与网格问题 一、单选题 13．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由三角形的面积即可计算出答案． 【详解】解：， ， 在边上的高为， 故选B． 二、填空题 14．(24-25八上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 【答案】135 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，平行线的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据网格与勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形网格的边长为1， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据格点的性质可得，， ∴， 故答案为： ． 15．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)如图所示的方可格网格纸中，小正方形的边长为，有， 两个格点，试取格点，使得 是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或或或或 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是确定点的位置．先确定点的位置，分四种情况：当，且时，当，且时，当时，当时，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，点的位置如下，使得 是直角三角形， 当，且时，； 当，且时，； 当时，或； 当时，点在的垂直平分线上，且， ，即， ； 综上所述，的长为或或或或， 故答案为：或或或或． 地 城 考点05 勾股定理与折叠问题 一、单选题 16．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)如图所示，中，，沿对折，使点与点重合，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．先利用折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， 设，则， 又 ，， 在中，根据勾股定理可得：，即， 解得：， ， 故选：B． 17．(22-23八上·山东济南莱芜区鲁西中学·)如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 故选：A． 二、填空题 18．(24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，已知点I，J在长方形的边上，点E，F在边上，将长方形沿，折叠，使点B，C落在点G处．折叠后点A的对应点为点，点D的对应点为点，连接，，，，则和的长分别为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等和对应角相等．根据折叠得对应边和角相等，即可得到点、F、G三点共线，点、G、E三点共线，进一步求得，在中，利用勾股定理求得，同理求得，结合线段之间关系即可求解． 【详解】解：∵四边形沿，折叠，， ∴，，，， ∵， ∴，即点、F、G三点共线， 同理可得：点、G、E三点共线， ∴， ∵， ∴， 在中，， 同理可得， 则，， 故答案为：，． 19．(22-23八上·贵州黔东南苗族侗族·期末)如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，通过作辅助线将的最小值转化为的长是解题的关键．作于，由，得，即、、三点共线时，最小值为，然后通过含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图，作于， 四边形是矩形， ， ， ， ，，， ， 即、、三点共线时，最小值为， 将长方形沿对角线折叠，得， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为： 三、解答题 20．(24-25八上·贵州遵义绥阳县实验中学·)已知，如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，如果，，求 (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2)的长为． 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，由折叠得，而，所以，则； （2）设，由，，根据勾股定理列式计算，即可求解． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ，， 由折叠得， ， ， 的长为． （2）解：设， ，， ， 由折叠可知：， ， ， 的长为． 地 城 考点06 利用勾股定理求线段的长或角度【高频考点】 一、单选题 21．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)，，为直角的三边，如果，，则的长度为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是分情况讨论．分为直角边和为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当为直角边时， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）； 当为斜边时， 由勾股定理得：，即， 解得：； 综上，的长度为或 ， 故选：D． 22．(24-25八上·贵州毕节八中·期中)如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（    ） A．7 B．5 C． D．5或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，分4为直角边和斜边两种情况进行求解即可、 【详解】解：当4为直角边时，斜边为； 当4为斜边时，另一边为：； 故选：D． 二、解答题 23．(24-25八上·贵州贵阳第二十八中学·期中)在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 【答案】(1)17 (2)12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理即可求得； （2）根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得， 因为， 所以． （2）解：在中，， 由勾股定理得， 因为， 所以． 24．(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族从江县往洞中学·期中)如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形． （1）根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形； （2）利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形，． （2）解：∵， ∴， ∴在中，， ∴ 25．(24-25八上·贵州遵义校联考·期中)如图，是等边三角形，为边上一个动点（与、均不重合）．．，连接． (1)求证：； (2)若，的面积为，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，证明是解答本题的关键． （1）先证明，根据即可证明； （2）根据题意知四边形的周长，，根据垂线段最短得当垂直时，最小，求出的长即可解决问题． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ， ， 在与中 ， ； （2）解：由题（1）得， ， ， 四边形的周长 ， ， ， 当最小时，四边形的周长最小， 当垂直时，最小， 当垂直时，， 最小为， 则四边形的周长最小． 26．(24-25八上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)如图，中，，，上一点，使． (1)若平分，求点到的距离； (2)若点恰好在的垂直平分线上，求的周长． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】本题考查的是勾股定理，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）先根据，得出，，过点作于点，根据角平分线的性质可得出结论； （2）根据恰好在边的垂直平分线上得出，在中根据勾股定理即可得出的长，再求周长即可． 【详解】（1）解：，， ，． 过点作于点， 平分，， ，即点到边的距离是3； （2）解：点恰好在边的垂直平分线上， ， 在中， ，， ． 的周长． 地 城 考点07 勾股定理的应用【难点点】 一、单选题 29．(24-25八上·贵州六盘水·期中)如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题意，利用勾股定理求出、、的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：∵直线，当时，；当时，； ∴，， ∴； ； ； ； ∴． 则， 的横坐标为， ∴的坐标为． 故选：A． 二、填空题 30．(23-24八上·期中复习（压轴题精选50题特训）-·期中)某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．    【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的计算、平面展开－路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【详解】解：将圆柱足侧面展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 ∵圆柱高4米，底面周长1米 ∴对角线米， 所以，花圈长至少是5米． 故答案为5．    三、解答题 31．(24-25八上·贵州贵阳第十九中学·期中)一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可． （2）如果云梯的顶端A下滑了到达E处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， 则此架云梯的顶端到地面的距离为. （2）解：如果云梯的顶端A下滑了到达E处， 则， 则， ∴ 32．(24-25八上·贵州贵阳第二十八中学·期中)如图所示，这是某市地图的一部分，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示，甲、乙两人对着地图如下描述A处的位置． 甲：A处的坐标是；乙：A处在B处南偏西方向，相距．求B处的坐标． 【答案】 【分析】此题考查的是坐标确定位置及方向角，在中，，，由勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：由点A的坐标建立平面直角坐标系，如图所示．连接，过点B作轴于C点． 由题意，得，，， ∴由勾股定理求得， ∴， ∴． 37．(23-24八下·云南昆明五华区云南民族中学·期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为21.6米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 33．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 34．(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 35．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，， ，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． (1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； (2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形的面积，即可证明结论； （2）根据题意得到，进而得到，再根据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由图所示，，则由平移的性质可得到图中， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 或（舍去）， ． 36．(24-25八上·贵州遵义绥阳县实验中学·)如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 地 城 考点08 勾股定理逆定理【易错点】 27．(24-25八上·贵州毕节八中·期中)某校根据《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，注重“劳动教育”深度融合，让学生在劳动教育中感受劳动之美，提升综合素养．如图是某班的劳动实践基地，经测量． (1)求的长 (2)求出空地的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）连接，直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，分割法求面积即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴； （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴空地的面积． 28．(24-25八上·贵州毕节民族中学东校区·期中)数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片已知底边 ，为上一点，且 ， ． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理得到，即可证明结论； （2）设，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理列出等式计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 故是直角三角形； （2）解：设， ， 等腰三角形纸片， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， ， 解得， 故． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $