4.4.2对数函数的图象和性质导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质(1)

1. 能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点.

2. 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.

3. 通过研究对数函数的有关性质，培养观察、分析、归纳的能力．

活动一  对数函数的图象和性质

与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质．

不妨先画函数y＝log2x的图象．

思考1►►►

请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y＝log2x的图象．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

思考2►►►

我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如y＝log2x和y＝x，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

 

 

 

 

 

 

思考3►►►

选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值， 在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、 公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的值域和性质吗？

 

 

　　

 

 

活动二  对数值的大小比较

例1　比较下列各组中两个值的大小：

(1)  log23.4，log28.5；

 

 

 

(2)  log0.31.8，log0.32.7；

 

 

 

(3)  loga5.1，loga5.9（a>0，且a≠1）.

 

 

 

比较两个同底数的对数的大小，首先要根据对数底数判断对数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判断两个对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数进行讨论．

比较下列各组中两个值的大小：

(1)  ln 0.3，ln 2；

 

 

 

 

(2)  loga3.1，loga5.2（a>0，且a≠1）.

 

 

 

活动三  对数函数性质的实际应用

例2　溶液酸碱度的测量．溶液酸碱度是通过pH计量的. pH 的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol/L.

(1) 根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋ ]＝10-7mol/L，计算纯净水的pH.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

思考4►►►

对于指数函数y＝2x，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们互为反函数吗？

 

 

 

 

 

活动四  对数函数性质的综合应用

例3　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝(x＋7).

(1) 求f(1)，f(－1)的值；

(2) 求函数f(x)的表达式；

(3) 若f(a－1)－f(3－a)＜0，求实数a的取值范围．